Модель типа «черный ящик»

Важную для человека роль играют наглядные, образные, визуальные модели. Перейдем от определения системы к его визуальному эквиваленту.

Во-первых, приведенное определение ничего не говорит о внутреннем устройстве системы. Поэтому ее можно изобразить в виде непрозрачного «ящика», выделенного из окружающей среды. Подчеркнем, что уже эта, максимально простая, модель по-своему отражает два следующих важных свойства системы: целостность и обособленность от среды.

Во-вторых, в определении системы косвенно говорится о том, что хотя «ящик» и обособлен, выделен из среды, но не является полностью от нее изолированным.

В самом деле, ведь достигнутая цель - это запланированные заранее изменения в окружающей среде, какие-то продукты работы системы, предназначенные для потребления вне ее. Иначе говоря, система связана со средой и с помощью этих связей воздействует на среду. Изобразим связи в виде стрелок, направленных от системы в среду. Эти связи называются выходами системы.

Кроме того, в определении имеется указание и на наличие связей другого типа: система является средством, поэтому должны существовать и возможности ее использования, воздействия на нее, т.е. и такие связи со средой, которые направлены извне в систему. Изобразим эти связи также в виде соответствующих стрелок, направленных от среды в систему, и назовем их входами системы.

В результате мы построили модель системы, которая получила название черного ящика. Это название образно подчеркивает полное отсутствие сведений о внутреннем содержании "ящика": в этой модели задаются, фиксируются, перечисляются только входные и выходные связи системы со средой (даже "стенки ящика", т.е. границы между системой и средой, в этой модели обычно не описываются, а лишь подразумеваются, признаются существующими). Такая модель, несмотря на внешнюю простоту и на отсутствие сведений о внутренности системы, часто оказывается полезной.

Во многих случаях достаточно содержательного словесного описания входов и выходов; тогда модель "черного ящика" является просто их списком. Например, бытовая модель телевизора такова: входы - шнур электропитания, антенна, ручки управления и настройки; выходы - экран кинескопа и звукодинамики. В других случаях требуется количественное описание некоторых или всех входов и выходов. Пытаясь максимально формализовать модель "черного ящика", мы приходим к заданию двух множеств X и У вход­ных и выходных переменных, но никаких других отношений между этими множествами фиксировать нельзя (иначе это уже будет не "черный", а про­зрачный ящик).

СЛОЖНОСТИ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ "ЧЕРНОГО ЯЩИКА"

Теперь рассмотрим принципиально важный вопрос об обманчивой про­стоте модели "черного ящика". Казалось бы, так просто: перечислить входы и выходы системы - и модель готова. Но как только это потребуется сделать для конкретной реальной системы, мы сталкиваемся с трудностями. Проил­люстрируем это сначала на хорошо знакомых примерах.

Пример 1. Опишем выходы системы "наручные часы". Учитывая, что выходы соответствуют конкретизации цели, фиксируем в качестве выхода показание времени в произвольный момент. Затем принимаем во внимание, что сформулированная таким образом цель относится ко всем часам, а не только к нашим наручным часам. Чтобы различить их, вносим следующее добавление (выход): удобство ношения часов на запястье; тогда появляется обязательность ремешка или браслета, а с ним и еще один выход: удовлетво­рение требований санитарии и гигиены, так как не любое крепление часов на руке допустимо с этой точки зрения.

Далее, представив себе условия эксплуатации часов, можно добавить достаточную в бытовых условиях прочность; пылевлагонепроницаемостъ.

Затем, расширив понятие "условия эксплуатации часов", добавим еще два выхода: достаточную для бытовых нужд точность; легкость прочте­ния показаний часов при беглом взгляде на циферблат.

Можно еще более расширить круг учитываемых требований к часам, что позволит добавить несколько выходов: соответствие моде и понятию кра­соты; соответствие цены часов покупательной способности потребителя. Очевидно, что список желаемых, т.е. включаемых в модель, выходов можно продолжать. Например, можно потребовать, чтобы имелась возможность прочтения показаний часов в полной темноте, и реализация этого выхода приведет к существенному изменению конструкции часов, в которой могут быть различные варианты самосвечения, подсветки, считывания на ощупь или подачи звуковых сигналов. А ведь мы в явной форме еще не говорили о габаритах, весе, многих других физических, химических, экономических и социальных аспектах использования наручных часов...

Пример 2. Попробуем перечислить входы системы "легковой автомо­биль". Исходя из определения системы как средства достижения цели, мы связали понятие входа с управляющим воздействием на систему, воздействи­ем, "подталкивающим" систему к цели. Поэтому сразу же выделим в автомо­биле в качестве входов те его элементы, которые предназначены для управ­ления во время движения: руль, педали сцепления, газа и тормоза, рычаг пе­реключения коробки передач, переключатели сигнализации и освещения, ручка аварийного и стояночного тормоза.

Затем, учитывая, что регулирующие воздействия приходится осуществ­лять не только на ходу, в список входов автомобиля вносим регулировочные винты, гайки, эксцентрики.

Смазка и заправка - это также регулирующее и управляющее воздейст­вия. Поэтому точки смазки и заправочные отверстия являются входами.

Нельзя не учитывать входы в буквальном смысле. Поэтому добавляем двери салона и (заодно) крышки багажника и капота.

И тут мы начинаем понимать, что входное воздействие на автомобиль оказывает не только водитель, но и пассажиры, а также окружающая среда. Записываем в перечень входов окна и зеркала, с помощью которых поступа­ет информация к водителю и пассажирам. Но тогда можно отметить, что свойства поверхности, по которой движется автомобиль, также оказывают входное воздействие: по-разному приходится действовать водителю при езде по асфальту, песку, гравию, в случае гололеда, грязи... Добавляем к списку входов механическое воздействие грунта на колеса.

Однако различие между песком и асфальтом для автомобиля существен­но лишь потому, что существует поле тяготения Земли.

Вместе с тем мы еще не упомянули многие реально существующие спо­собы воздействия среды на данную систему: ручки стеклоподъемников, аэ­родинамическое сопротивление воздуха, кнопки радиоприемника или конди­ционера, а в последних моделях - входы вычислительных устройств. А раз­ве не влияют на автомобиль и его пассажиров электрические и магнитные поля! Не зря же рекомендуют прикреплять к автомобилю проводящий ре­мень, который отводит накапливающиеся на кузове электрические заряды. Далее, стали обязательными пристежные ремни, так как нельзя пренебрегать тем, что существует еще один вход — силы инерции, которые при авариях достигают опасных для здоровья и жизни величин. Очевидно, что список входов может быть еще продолжен.

Рассмотренные примеры свидетельствуют, что построение модели "черного ящика" не является тривиальной задачей, так как на вопрос о том, сколько и какие именно входы и выходы следует включать в модель, ответ не прост и не всегда однозначен. Установим причины этого факта.

МНОЖЕСТВЕННОСТЬ ВХОДОВ И ВЫХОДОВ

Главной причиной множественности входов и выходов в модели "черного ящика" является то, что всякая реальная система, как и любой объ­ект, взаимодействует с объектами окружающей среды неограниченным чис­лом способов. Строя модель системы, мы из этого бесчисленного множества связей отбираем конечное их число для включения в список входов и выхо­дов. Критерием отбора при этом является целевое назначение модели, суще­ственность той или иной связи по отношению к этой цели. То, что сущест­венно, важно, включается в модель, то, что несущественно, неважно, - не включается. Именно здесь возможны ошибки. Тот факт, что мы не учитыва­ем в модели, исключаем из рассмотрения остальные связи, не лишает их ре­альности, они все равно действуют независимо от нас. И нередко оказывает­ся, что казавшееся несущественным или неизвестным для нас на самом деле является важным и должно быть учтено.

Особое значение этот момент имеет при задании цели системы, т.е. при определении ее выходов главную цель приходится сопровождать заданием дополнительных целей. Важно подчеркнуть, что выполнения только ос­новной цели недостаточно, что невыполнение дополнительных целей может сделать ненужным или даже вредным и опасным достижение основной цели. Этот момент заслуживает особого внимания, так как на практике часто обна­руживается незнание, непонимание или недооценка важности указанного положения. Между тем оно является одним из центральных во всей системологии.

Пример 3. Лет тридцать назад свечение цифр и стрелок наручных часов было достигнуто применением фосфоресцирующей краски. Впоследствии оказалось, что кроме полезного эффекта возникали вредные для здоровья из­лучения, и выпуск таких часов пришлось прекратить. Теперь найдены нера­диоактивные светящиеся материалы, и светящиеся часы вновь появились в продаже.

Модель "черного ящика" часто оказывается не только очень полезной, но в ряде случаев единственно применимой при изучении систем. Например, при исследовании психики человека или влияния лекарства на живой орга­низм мы лишены возможности вмешательства в систему иначе как только через ее входы, и выводы делаем только на основании наблюдения за ее вы­ходами. Это вообще относится к таким исследованиям, в результате прове­дения которых нужно получить данные о системе в обычной для нее обста­новке, где следует специально заботиться о том, чтобы измерения как можно меньше влияли на саму систему. Другая причина того, что приходится огра­ничиваться только моделью "черного ящика", - действительное отсутствие данных о внутреннем устройстве системы. Например, мы не знаем, как "устроен" электрон, но знаем, как он взаимодействует с электрическими и магнитными полями, с гравитационным полем. Это и есть описание электро­на на уровне модели "черного ящика".

Сделаем еще одно замечание. Модель "черного ящика" - это уже струк­турированная модель: в ней про каждую связь со средой известно, относится ли она к числу входов или является выходом. Однако на ранних стадиях ис­следования системы такая информация может отсутствовать: мы можем вы­делить некоторую связь системы со средой, можем даже наблюдать или из­мерять параметр, характеризующий эту связь, но не иметь оснований безус­ловно говорить о направленности этой связи. В таких случаях иногда полез­но рассмотреть две конкурирующих модели "черного ящика", в одной из ко­торых эта связь причислена ко входам, а в другой - к выходам. Примером является исследование связи между двумя процессами, когда неизвестно, ка­кой из них - причина, а какой - следствие, или даже вообще является ли их связь причинно-следственной (т.е. возможно, что они оба - следствия какой-то ненаблюдаемой причины).

3. - Статистическое моделирование систем

1. Характеристика метода статистического моделирования

В практике моделирования систем наиболее часто приходится иметь дело с объектами, которые в процессе своего функционирования содержат элементы стохастичности или подвергаются стохастическим воздействиям внешней среды. Поэтому основным методом получения результатов с помощью имитационных моделей таких стохастических систем является метод статистического моделирования на ЭВМ, использующий в качестве теоретической базы предельные теоремы теории вероятностей.

На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод статистических испытаний (Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел, т. е. возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятностей. Статистическое моделирование представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе. Для получения представляющих интерес оценок характеристик моделируемой системы S с учетом воздействий внешней среды Е статистические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов математической статистики.

Сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы S некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды Е, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств.

Различают две области применения метода:

1) для изучения стохастических систем;

2) для решения детерминированных задач.

Основной идеей, которая используется для решения детерминированных задач методом статистического моделирования, является замена детерминированной задачи эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики последней совпадают с результатом решения детерминированной задачи. Естественно, что при такой замене вместо точного решения задачи получается приближенное решение и погрешность уменьшается с увеличением числа испытаний (реализаций моделирующего алгоритма) N.

В результате статистического моделирования системы S получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализаций N достаточно велико, то полученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы S.

Теоретической основой метода статистического моделирования систем на ЭВМ являются предельные теоремы теории вероятностей.

Множества случайных явлений (событий, величин) подчиняются определенным закономерностям, позволяющим не только прогнозировать их поведение, но и количественно оценить некоторые средние их характеристики, проявляющие определенную устойчивость. Характерные закономерности наблюдаются также в распределениях случайных величин, которые образуются при сложении множества воздействий.

Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний (реализаций) N. Практически приемлемые при статистическом моделировании количественные оценки характеристик систем часто могут быть получены уже при сравнительно небольших (при использовании ЭВМ) N. Статистическое моделирование систем на ЭВМ требует формирования значений случайных величин, что реализуется с помощью датчиков (генераторов) случайных чисел.

2. Псевдослучайные последовательности.

При статистическом моделировании систем одним из основных вопросов является учет стохастических воздействий. Количество случайных чисел, используемых для получения статистически устойчивой оценки характеристики процесса функционирования системы S при реализации моделирующего алгоритма на ЭВМ, колеблется в достаточно широких пределах в зависимости от класса объекта моделирования, вида оцениваемых характеристик, необходимой точности и достоверности результатов моделирования. Для метода статистического моделирования на ЭВМ характерно, что большое число операций, а соответственно и большая доля машинного времени расходуются на действия со случайными числами. Кроме того, результаты статистического моделирования существенно зависят от качества исходных (базовых) последовательностей случайных чисел. Поэтому наличие простых и экономичных способов формирования, последовательностей случайных чисел требуемого качества во многом определяет возможность практического использования машинного моделирования систем.

На практике используются три основных способа генерации случайных- чисел:

1. аппаратный (физический);

2. табличный (файловый);

3. алгоритмический (программный).

Аппаратный способ. При этом способе генерации случайные числа вырабатываются специальной электронной приставкой — генератором (датчиком) случайных чисел,— служащей в качестве одного из внешних устройств ЭВМ. Таким образом, реализация этого способа генерации не требует дополнительных вычислительных операций ЭВМ по выработке случайных чисел, а необходима только операция обращения к внешнему устройству (датчику). В качестве физического эффекта, лежащего в основе таких генераторов чисел, чаще всего используются шумы в электронных и полупроводниковых приборах, явления распада радиоактивных элементов и т. д. Рассмотрим принцип получения случайных чисел от приставки, основанный, например, на эффекте шума в полупроводниковых приборах.

Структурная схема аппаратного генератора случайных чисел приведена на рис. 1.

Рис. 1.

Где ИШ — источник шума; КС— ключевая схема; ФИ — формирователь импульсов; ПС — пересчетная схема, При усилении шумов на выходе ИШ получается напряжение иш(t), которое является случайным процессом, показанным на временной диаграмме рис. 1. Причем отрезок шумовой реализации их (t), сформированный на интервале времени (0, T) с помощью КС, содержит случайное число выбросов. Сравнение напряжения иk (t) с пороговым Un позволяет сформировать на выходе ФИ серию импульсов иф(t). Тогда на выходе ПС может быть получена последовательность случайных чисел Xi(t).

Например, если провести масштабирование и принять длину интервала (0, T) за единицу, то значения интервалов времени , между соседними импульсами иф(t) будут случайными числами хi(0, 1). Возможны и другие схемные решения аппаратных генераторов случайных чисел.

Однако аппаратный способ получения случайных чисел не позволяет гарантировать качество последовательности непосредственно во время моделирования системы S на ЭВМ, а также повторно получать при моделировании одинаковые последовательности чисел.

Табличный способ. Если случайные числа, оформленные в виде таблицы, помещать во внешнюю или оперативную память ЭВМ, предварительно сформировав из них соответствующий файл (массив чисел), то такой способ будет называться табличным. Однако этот способ получения случайных чисел при моделировании систем на ЭВМ обычно рационально использовать при сравнительно небольшом объеме таблицы и соответственно файла чисел, когда для хранения можно применять оперативную память. Хранение файла во внешней памяти при частном обращении в процессе статистического моделирования не рационально, так как вызывает увеличение затрат машинного времени при моделировании системы S из-за необходимости обращения к внешнему накопителю. Возможны промежуточные способы организации файла, когда он переписывается в оперативную память периодически по частям. Это уменьшает время на обращение к внешней памяти, но сокращает объем оперативной памяти, который можно использовать для моделирования процесса функционирования системы S.

Алгоритмический способ. Способ получения последовательностей случайных чисел основан на формировании случайных чисел в ЭВМ с помощью специальных алгоритмов и реализующих их программ. Каждое случайное число вычисляется с помощью соответствующей программы по мере возникновения потребностей при моделировании системы на ЭВМ.

Достоинства и недостатки трех перечисленных способов получения случайных чисел для сравнения представлены в табл. 1. Из этой таблицы видно, что алгоритмический способ получения случайных чисел наиболее рационален на практике при моделировании систем на универсальных ЭВМ.

При моделировании систем на ЭВМ программная имитация случайных воздействий любой сложности сводится к генерированию некоторых стандартных (базовых) процессов и к их последующему функциональному преобразованию. Вообще говоря, в качестве базового может быть принят любой удобный в случае моделирования конкретной системы S процесс. Однако при дискретном моделировании базовым процессом является последовательность чисел представляющих собой реализации независимых, равномерно распределенных на интервале (0, 1) случайных величин.

Но получить его на цифровой ЭВМ невозможно, так как машина оперирует с п- разрядными числами. Поэтому на ЭВМ вместо непрерывной совокупности равномерных случайных чисел интервала (0, 1) используют дискретную последовательность 2n случайных чисел того же интервала. Закон распределения такой дискретной последовательности называют квазиравномерным распределением.

На ЭВМ невозможно получить идеальную последовательность случайных чисел хотя бы потому, что на ней можно оперировать только с конечным множеством чисел. Кроме того, для получения значений случайной величины используются формулы (алгоритмы). Поэтому такие последовательности, являющиеся по своей сути детерминированными – называются псевдослучайными.

Полученные с помощью генератора псевдослучайные последовательности чисел должны состоять из квазиравномерно распределенных чисел, содержать статистически независимые числа, быть воспроизводимыми, иметь неповторяющиеся числа, получаться с минимальными затратами машинного времени, занимать минимальный объем машинной памяти.

Наибольшее применение в практике моделирования на ЭВМ для генерации последовательностей псевдослучайных чисел находят алгоритмы вида

x_i+1 = Ф(x_i), (4.1)

представляющие собой рекуррентные соотношения первого порядка, для которых начальное число х₀ и постоянные параметры заданы.

Одной из исторически первых процедур получения псевдослучайных чисел была процедура, получившая название метода серединных квадратов. Недостаток этого метода — наличие корреляции между числами последовательности, а в ряде случаев случайность вообще может отсутствовать.

Широкое применение при моделировании систем на ЭВМ получили конгруэнтные процедуры генерации псевдослучайных последовательностей, представляющие собой арифметические операции, в основе которых лежит фундаментальное понятие конгруэнтности. Два целых числа  и  конгруэнтны (сравнимы) по модулю.

Например, 1984-4 (mod 10), 5008 = 8 (mod 103) и т. д.

Конгруэнтные процедуры имеет вид

, (4.2)

Конгруэнтная процедура получения последовательностей псевдослучайных квазиравномерно распределенных чисел может быть реализована мультипликативным либо смешанным методом.

Мультипликативный метод. Задает последовательность неотрицательных целых чисел {Xi}, не превосходящих М, по формуле

X_i+1=X_i (mod M), (4.3)

это частный случай соотношения (4.2) при ,  = 0.

В силу детерминированности метода получаются воспроизводимые последовательности. Требуемый объем машинной памяти при этом минимален, а с вычислительной точки зрения необходим последовательный подсчет произведения двух целых чисел, т. е. выполнение операции, которая быстро реализуется современными ЭВМ.

Для машинной реализации наиболее удобна версия M=p^g, где р — число цифр в системе счисления, принятой в ЭВМ (р = 2 для двоичной и р= 10 для десятичной машины); g — число битов в машинном слове. Тогда вычисление остатка от деления на М сводится к выделению g младших разрядов делимого, а преобразование целого числа Xi в рациональную дробь из интервала x_i  (0, 1) осуществляется подстановкой слева от Xi двоичной или десятичной запятой.

Алгоритм построения последовательности для двоичной машины М=2^в сводится к выполнению таких операций :

1. Выбрать в качестве Х0 произвольное нечетное число.

2. Вычислить коэффициент  = 8t ± 3, где t — любое целое положительное число.

3. Найти произведение Х₀, содержащее не более 2g значащих разрядов.

4. Взять g младших разрядов в качестве первого члена последовательности Х1 а остальные отбросить.

5. Определить дробь x₁=X₁/2^g из интервала (0, 1).

6. Присвоить Х₀ = Х₁.

7. Вернуться к п. 3.

Смешанный метод. Позволяет вычислить последовательность неотрицательных целых чисел {Xi}, не превосходящих М, по формуле

X_i+1=X_i +(mod M), (4.4)

т. е. в отличие от мультипликативного метода  ≠ 0. С вычислительной точки зрения смешанный метод генерации сложнее мультипликативного на одну операцию сложения, но при этом возможность выбора дополнительного параметра позволяет уменьшить возможную корреляцию получаемых чисел.

Качество конкретной версии такого генератора можно оценить только с помощью соответствующего машинного эксперимента.

В настоящее время почти все пакеты прикладных программ универсальных ЭВМ для вычисления последовательностей равномерно распределенных случайных чисел основаны на конгруэнтной процедуре.

4 – Основы теории массового обслуживания.

Определение 1. Пусть имеется некоторая физическая система S, которая с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем заранее неизвестным, случайным образом. Тогда мы будем говорить, что в системе S протекает случайный процесс.

Под «физической системой» можно понимать что угодно: техническое устройство, предприятие, живой организм и т.д.

Пример. S – техническое устройство, состоящее из ряда узлов, которые время от времени выходят из строя, заменяются или восстанавливаются. Процесс, протекающий в системе, – случайный. Вообще, если подумать, труднее привести пример «неслучайного» процесса, чем случайного. Даже процесс хода часов – классический пример точной, строго выверенной работы («работают как часы») подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, остановка).

Определение 2. Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пусть в настоящий момент t₀ система находится в определенном состоянии S₀. Мы наблюдаем процесс со стороны и в момент t₀ знаем состояние системы S₀ и всю предысторию процесса, все, что было при t<t₀. Нас, естественно. Интересует будущее: t>t₀. Можем ли мы его предугадать? В точности – нет. Наш процесс случайный, следовательно – непредсказуемый. Но какие-то вероятностные характеристики процесса в будущем мы найти можем. Например, вероятность того, что через некоторое время  система S окажется в состоянии S₁ или сохранит состояние S₀ и т.д.

Если процесс марковский, то предсказывать можно, только учитывая настоящее состояние системы S₀ и забыв о его «предыстории» (поведение системы при t<t₀). Само состояние S₀, разумеется, зависит от прошлого, но как только оно достигнуто, о прошлом можно забыть. Т.е. в марковском процессе «будущее зависит от прошлого только через настоящее» .

Пример. Система S – счетчик Гейгера, на который время от времени попадают космические частицы; состояние системы в момент времени t характеризуется показаниями счетчика – числом частиц, пришедших до данного момента. Пусть в момент t₀ счетчик показывает S₀. Вероятность того, что в в момент t>t₀ счетчик покажет то или другое число частиц S₁ (или менее S₁) зависит от S₀, но не зависит от того, в какие именно моменты приходили частицы до момента t₀.

На практике часто встречаются процессы, которые если не в точности марковские, то могут быть в каком-то приближении рассмотрены как марковские. Например, S_­ – группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Состояние системы характеризуется числом самолетов «красных» – x и «синих» – y, сохранившихся (не сбитых) к какому-то моменту. В момент t₀ нам известны численности сторон x₀ и y₀. Нас интересует вероятность того, что в какой-то момент времени t₀+ численный перевес будет на стороне «красных». От чего зависит эта вероятность? В первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент времени t₀, а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента времени t₀ самолеты.

В сущности любой процесс можно рассматривать как марковский, если все параметры из «прошлого», от которых зависит «будущее», перенести в «настоящее». Например, пусть речь идет о работе какого-то технического устройства; в какой-то момент времени t₀ оно ещё исправно, и нас интересует вероятность того, что оно проработает ещё время . Если за настоящее время считать просто «система исправна», то процесс безусловно не марковский, потому что вероятность, что она не откажет за время , зависит, в общем случае, от того, сколько времени она уже проработала и когда был последний ремонт. Если оба эти параметра (общее время работы и время после ремонта) включить в настоящее состояние системы. То процесс можно будет считать марковским.

Определение 3. Процесс называется с дискретными состояниями, если его возможные состояния S₁, S₂,... можно заранее перечислить (перенумеровать), и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.

Определение 4. Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны, если переход может осуществиться, в принципе, в любой момент.

Мы будем рассматривать только процессы с дискретными состояниями.

Пример. Техническое устройство S состоит из двух узлов. Каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время.

Рис.4.1

Возможные состояния системы:

S₀ – оба узла исправны;

S₁ – первый узел ремонтируется, второй исправен;

S₂ – второй узел ремонтируется, первый исправен;

S₃ – оба узла ремонтируются.

Стрелка, направленная из S₀ в S₁ означает момент отказа первого узла и т. д. На рисунке нет стрелки из состояния S₀ в состояние S₃, поскольку вероятность того, что два прибора откажут одновременно, стремится к нулю.

Определение 5. Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток сбоев на ЭВМ, поток вызовов на телефонной станции).

Важнейшей характеристикой потока событий является его интенсивность  – среднее число событий, приходящееся на единицу времени. интенсивность потока может быть постоянной (=const), так и переменной, зависящей от времени. Например, поток автомашин, движущихся по улице, днем интенсивнее, чем ночью, а поток автомашин с 14-ти до 15-ти часов дня можно считать постоянным.

Определение 6. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные, равные промежутки времени.

Определение 7. Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность  стационарного потока должна быть постоянной. Это отнюдь не означает, что фактическое число событий, появляющееся в единицу времени, постоянно, – нет, поток неизбежно (если только он не регулярный) имеет какие-то случайные сгущения и разрежения. Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера: на один участок длины 1 может попасть больше, а на другой – меньше событий, но среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.

Например, поток вызовов, поступающих на АТС между 13 и 14 часами. Практически стационарен, но тот же поток в течение суток уже не стационарен.

Определение 8. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени ₁ и ₂ число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. По сути это означает, что события, образующие поток, появляются в те или другие моменты независимо друг от друга, вызванные каждое своими собственными причинами.

Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. А вот поток покупателей, отходящих от прилавка с купленными товарами, уже имеет последействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).

Определение 9. Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами сразу.

Например поток клиентов к зубному врачу – обычно ординарный. Поток поездов, подходящих к станции – ординарен, а поток вагонов – неординарен.

Определение 10. Поток событий называется простейшим (или стационарным Пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: стационарен, ординарен и не имеет последействия, а сам входной поток распределен по закону Пуассона ().

Для описания случайного процесса, протекающего в системе с дискретными состояниями S₁, S₂, ..., S_n часто пользуются вероятностями состояний p₁(t),...,p_n(t), где p_k(t) – вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии S_k. Вероятности p_k(t) удовлетворяют условию: .

Если процесс, протекающий в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем является марковским, то для вероятностей состояний p₁(t), ..., p_n(t) можно составить систему линейных дифференциальных уравнений. При составлении этих уравнений удобно пользоваться графом состояний системы, на котором против каждой стрелки, ведущей из состояния в состояние, проставлена интенсивность потока событий, переводящего систему по стрелке (рис.4.2):

Рис.4.2

_ij – интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния S_i в состояние S_j.

Правило создания системы линейных дифференциальный уравнений для нахождения вероятностей состояний.

Для каждого состояния выписывается собственное уравнение. В левой части каждого уравнения стоит производная , а в правой – столько членов, сколько стрелок связано непосредственно с данным состоянием; если стрелка ведет в данное состояние, то член имеет знак «+», иначе - знак «–». Каждый член равен интенсивности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого стрелка выходит.

Т.о. система линейных дифференциальных уравнений в нашем случае имеет вид:

Начальные условия для интегрирования такой системы отражают состояние системы в начальный момент времени. Если, например, система при t=0 была в состоянии S_k, то . Эти уравнения можно решать аналитически, но это удобно только тогда, когда число уравнений не превышает двух (иногда трех). В случае, когда уравнений оказывается больше, применяют численные методы.

Что будет происходить с вероятностями состояний при ? Будут лиp₁(t), ..., p_n(t) стремиться к каким-то пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний: .p_i – среднее относительное время пребывания системы в i-ом состоянии.

Как найти финальные вероятности? Поскольку все p_i=const, то производные, стоящие в левой части каждого уравнения равны нулю. Т.о. мы получили систему линейных алгебраических уравнений. Поскольку ни одно уравнение в этой системе не имеет свободного члена, то система является вырожденной (т.е. все переменные будут выражены через одну). Чтобы этот избежать, необходимо воспользоваться нормировочным условием (), при этом любое уравнение можно отбросить.