Структура сети Петри

Сеть Петри состоит из четырех элементов: множество позиций Р, множество переходов Т, входная функция I и выходная функция О. Входная и выходная функции связаны с переходами и позициями. Входная функция I отображает переход t_j в множество позиций I(t_j), называемых входными позициями перехода. Выходная функция О отображает переход t_j в множество позиций O(t_j), называемых выходными позициями перехода.

Структура сети Петри определяется ее позициями, переходами, входной и выходной функциями.

Определение 1. Сеть Петри С является четверкой, С= (Р, Т, I, О). Р= {р₁, р₂, ..., р_n} – конечное множество позиций, n0. Т={t₁, t₂, ..., t_m} – конечное множество переходов, m0. Множество позиций и множество переходов не пересекаются, Р  Т = . I: ТР является входной функцией – отображением из переходов в комплекты позиций. О: Т Р есть выходная функция – отображение из переходов в комплекты позиций.

Мощность множества Р есть число n, а мощность множества Т есть число m. Произвольный элемент Р обозначается символом р_i, i=1, ..., п, а произвольный элемент Т – символом t_j, j=1,..., m.

Позиция р_i является входной позицией перехода t_j в том случае, если p_iI(t_j), p_i является выходной позицией, если p_iO(t_j). Входы и выходы переходов представляют собой комплекты позиций. Комплект является обобщением множества, в которое включены многократно повторяющиеся элементы – тиражированные элементы. В приложении 1 содержится описание теории комплектов. Использование комплектов, а не множеств для входов и выходов перехода позволяет позиции быть кратным входом либо кратным ' выходом перехода. Кратность входной позиции p_i для перехода t_j есть число появлений позиции во входном комплекте перехода, #(p_i,I(t_j)). Аналогично кратность выходной позиции p_i для перехода t_j есть число появлений позиции в выходном комплекте перехода, #(p_i,O(t_j)). Если входная и выходная функции являются множествами (а не комплектами), то кратность каждой позиции есть либо 0, либо 1.

Входные и выходные функции используются для отображения позиций в комплекты переходов, а также их можно использовать для отображения переходов в комплекты позиций. Определим, что переход t_j является входом позиции p_i, если p_i есть выход t_j. Переход t_j есть выход позиции p_i, если p_i есть вход t_j.

Определение 2. Определим расширенную входную функцию I и выходную функцию таким образом, что #(t_j, I(p_i)) = #(p_i, I(t_j)), #(t_j, O(p_i)) = # (p_i, I(t_j)).

Пример.

I(p₁)={ }, O(p₁)={t₁},

I(p₂)={t₁,t₄ }, O(p₂)={t₂},

I(p₃)={t₁,t₄ }, O(p₃)={t₂,t₃},

I(p₄)={t₃ }, O(p₄)={t₄},

I(p₅)={ t₁,t₂}, O(p₅)={t₂}.

C = (P, T, I, O),

P={p₁, p₂, p₃, p₄, p₅},

T={t₁, t₂, t₃, t₄}.

I(t₁)={p₁ }, O(t₁)={p₂, p₃, p₄},

I(t₂)={p₂, p₃, p₄ }, O(t₂)={p₅},

I(t₃)={p₃ }, O(t₃)={p₄},

I(t₄)={p₄}, O(t₄)={p₂, p₃}.

Рис.6.1. Структура сети Петри представлена в виде четверки, которая состоит из множества позиций (Р), множества переходов (Т), входной функции () и выходной функции ()

Графы сетей Петри

В значительной степени теоретическая работа по сетям Петри основана на формальном определении сетей Петри, изложенном выше. Тем не менее для иллюстрации понятий теории сетей Петри гораздо более удобно графическое представление сети Петри. Теоретико-графовым представлением сети Петри является двудольный ориентированный мультиграф.

Структура сети Петри представляет собой совокупность позиций и переходов. В соответствии с этим граф сети Петри обладает двумя типами узлов. Кружок О является позицией, а планка  – переходом.

Ориентированные дуги (стрелки) соединяют позиции и переходы, при этом некоторые дуги направлены от позиций к переходам, а другие – от переходов к позициям. Дуга, направленная от позиции p_i к переходу t_j определяет позицию, которая является входом перехода. Кратные входы в переход указываются кратными дугами из входных позиций в переход. Выходная позиция указывается дугой от перехода к позиции. Кратные выходы также представлены кратными дугами.

Сеть Петри есть мультиграф, так как он допускает существование кратных дуг от одной вершины графа к другой. Следует добавить, что так как дуги являются направленными, то это ориентированный мультиграф. Мы знаем, что вершины графа можно разделить на два множества (позиции и переходы) таким образом, что каждая дуга будет направлена от элемента одного множества (позиций или переходов) к элементу другого множества (переходов или позиций); следовательно, такой граф является двудольным ориентированным мультиграфом. В дальнейшем для простоты будем называть его просто графом сети Петри.

Граф сети Петри, изображенный на рис.5.2, эквивалентен структуре сети Петри из выше приведенного примера.

Рис. 5.2

Для графов с большой кратностью используется пучок дуг, помеченный числом кратности, а не изображением кратных дуг (рис.5.3).

Рис. 5.3