Хід роботи.

1. Запустити електронний навчальний посібник.

2. За допомогою навчального посібника виконати наступні приклади.

Приклад 2.1. Створити за допомогою спеціальних символів вектор-рядок і вектор-стовпець (для економії місця вектор-стовпець часто записується як рядок з символом Т, який позначає транспонування).

Розв’язування:

>> A=[4 5 6],B=[2;3;-2]

А =

4 5 6

B =

2

3

-2

Приклад 2.2. Створити за допомогою стандартних функцій вектор-стовпець і вектор-рядок.

Розв’язування:

>> A=vertcat (2,3,4),B=horzcat(2,4,7)

А =

2

3

4

B =

2 4 7

Приклад 2.3. Створити за допомогою спеціальних символів вектор та змінити значення координатиа₂ на -5.

Розв’язування:

>> A=[2 5 8],A(2)=-5

А =

2 5 8

А =

2 -5 8

Пример 2.4. Створити за допомогою спеціальних символів вектор та обчислити .

Розв’язування:

>> x=[1 2 3 4];

>> y=sind(x)

y =

0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568

Приклад 2.5. Перевірити властивості суми векторів, використовуючи вектори ,,.

Розв’язування:

>> A=[1 1 1];B=[1 2 3];

C=[2 5 8];

>> isequal (A+B,B+A),isequal ((A+B)+C,A+(B+C))

ans =

1

ans =

1

Приклад 2.6. Перевірити властивості множення вектора на число за допомогою векторів іта чисел,,.

Розв’язування:

>> A=[1 2 3];B=[6 5 4];L=5;L1=2;L2=3;

>> A*L+B*L,isequal((A+B)*L,ans)

ans =

35 35 35

ans =

1

>> (L1*L2)*A,isequal(ans,L1*(L2*A))

ans =

6 12 18

ans =

1

Приклад 2.7. Обчислити довжину вектора .

Розв’язування:

>> A=[2 5 8],sqrt(sum(A.*A))

A =

2 5 8

ans =

9.6437

Приклад 2.8. Обчислити одиничний вектор , що має однаковий напрям з вектором . Перевірити, чи є обчислений вектор одиничним.

Розв’язування:

>> a=[1 2 3];a0=a/sqrt(sum(a.*a))

a0 =

0.2673 0.5345 0.8018

>> sqrt(sum(a0.*a0))

ans =

1

Координати орта вектора дорівнюють(0.2673; 0.5345; 0.8018).

Приклад 2.9. Обчислити кути нахилу вектора до осей координат.

Розв’язування:

>> A=[2 5 -1],acos(A./sqrt(sum(A.*A)))*180./pi

A =

2 5 -1

ans =

68.5833 24.0948 100.5197

sum(cos(ans./180*pi).^2)

ans = 1

Кути нахилу вектора α = 68.58°, β = 24.09° і γ=100.52°. При обчисленні кутів нахилу використовувалися оператор поелементного ділення «./». При обчисленні суми квадратів напрямних косинусів використовувався оператор поелементного піднесення до степеня «.^». В результаті сума квадратів направляючих косинусів дорівнює одиниці.

Приклад 2.10. Обчислити роботу, що виконується при прикладанні сили в діякій точці, що рухається прямолінійно, переміщуючись із положенняв положення.

Розв’язування:

>> A=[2 -3 5];B=[3 -2 -1];

>> АВ=B-A

АВ =

1 1 -6

>> F=[3 -2 -5];

>> [sum(F.*АВ),dot(F,АВ)]

ans =

31 31

Геометричний зміст скалярного добутку: якщо скалярний добуток дорівнює нулю, то два ненульові вектори ортогональні (перпендикулярні). Якщо скалярний добуток більший нуля, то кут між векторами гострий, якщо менший нуля – тупий.

Приклад 2.11. Обчислити скалярний добуток двох векторів і.

Розв’язування:

>> A=[1 4 7];B=[2 5 8];

[sum(A.*B),dot(A,B)]

ans =

78 78

Скалярний добуток двох векторів і , заданих в координатній формі, обчислюється за допомогою стандартної функціїdot() абоза допомогою стандартної функції sum() і оператора поелементного множення «. *».

Приклад 2.12. Обчислити кут між векторами і.

Розв’язування:

>> A=[-1 2 3];B=[1 2 1];

phi=acos(dot(A,B)./(sqrt(sum(A.*A))*

sqrt(sum(B.*B))))

phi =

0.8571

phi=phi*180/pi

phi =

49.1066

Отже, кут між векторами ідорівнює49.11° або 0.8571 радіан.

Приклад 2.13. Обчислити векторний добуток векторів і .

Розв’язування:

>> A=[-1 2 3];B=[1 2 1];C=cross(A,B)

C =

-4 4 -4

Приклад 2.14. Сила прикладена до точки. Знайти момент цієї сили відносно точки.

Розв’язування:

>>f=[1 -2 4];m=[1 2 3];a=[3 2 -1];

>> am=m-a

am =

-2 0 4

>> mom=cross(am,f)

mom =

8 12 4

Приклад 2.15. Знайти мішаний добуток векторів ,і, де векториі перемножуються векторно, а їх результат на вектор  скалярно.

Розв’язування:

>> A=[3 0 0];B=[3 5 0];C=[0 0 2];

ABC=sum(A.*cross(B,C))

ABC =

30

Приклад 2.16. У тетраедрі з вершинами в точках ,,іобчислити площу тетраедра та трикутникаАВС.

Розв’язування:

>> a=[1 1 1];b=[2 0 2];c=[2 2 2];d=[3 4 -3];

>> ab=b-a

ab =

1 -1 1

>> ac=c-a

ac =

1 1 1

>> ad=d-a

ad =

2 3 -4

>> abc=sum(ad.*cross(ab,ac))

abc =

-12

>> V=1/6*abs(abc)

V =

2

>> c=cross(ab,ac)

c =

-2 0 2

>> d=sqrt(sum(c.*c))

d =

2.8284e+000

>> format short

>> d/2

ans =

1.4142

Приклад 3.1. Створити матрицю А за допомогою спеціальних символів, а матрицю В – за допомогою стандартних функцій.

.

Розв’язування:

>> A=[2.8 2.8 28;1 1 1;1.5 1.5 1.5]

A =

2.8000 2.8000 28.0000

1.0000 1.0000 1.0000

1.5000 1.5000 1.5000

>> B=vertcat(horzcat(2.8,1,1.5),horzcat (2.8,1,1.5),...

horzcat(2.8,1,1.5))

B =

2.8000 1.0000 1.5000

2.8000 1.0000 1.5000

2.8000 1.0000 1.5000

Приклад 3.2. Створити матрицю А з прикладу 3.1 і змінити значення елементів, що розташовані на перетині першого рядка і другого стовпця, а також другого рядка і третього стовпця, на 3 і на 5 відповідно. До першого елемента звернутися за допомогою двох індексів, а до другого – за допомогою одного індексу.

Розв’язування:

>> A=[2.8 2.8 28;1 1 1;1.5 1.5 1.5];

>> А(1,2)=3;A(7)=5

А =

2.8000 3.0000 5.0000

1.0000 1.0000 1.0000

1.5000 1.5000 1.5000

Приклад 3.3. Перевірити на рівність наступні матриці:

.

Розв’язування:

>> A=[1 1;2 2];B=[1 1;2 2];C=[1 2;2 1];

>> isequal (A,B),isequal (А, З)

ans =

1

ans =

0

Приклад 3.4. Транспонувати матрицю .

Розв’язування:

>> A=[4 1;4 1]

А =

4 1

4 1

>> A'

ans =

4 4

1 1

>> transpose(A)

ans =

4 4

1 1

Приклад 3.5.Сформувати діагональну матрицю .

Розв’язування:

>> V=2:4

V =

2 3 4

>> D=diag(V)

D =

2 0 0

0 3 0

0 0 4

Приклад 3.6. Створити одиничну матрицю А (3х3), де a₁₁=a₂₂= a₃₃ =1.

Розв’язування:

>> A=eye(3)

А =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Приклад 3.7. Виділити з матриці нижню і верхню трикутні матриці.

Розв’язування:

>> A=[1 4 7;2 5 8;3 6 9]

А =

1 4 7

2 5 8

3 6 9

>> N=tril(A), V=triu(A)

N =

1 0 0

2 5 0

3 6 9

V =

1 4 7

0 5 8

0 0 9

Приклад 3.8. Створити матрицю Х і піднести кожний її елемент до третього степеня.

Розв’язування:

>> X=[8 5 -3 12;-2 4 -7 1]

X =

8 5 -3 12

-2 4 -7 1

>> X.^3

ans =

512 125 -27 1728

-8 64 -343 1

Приклад 3.9. Виконати додавання матриць .

Розв’язування:

>> A=[3 4;4 3];B=[3 3;2 2];A+B

ans =

6 7

6 5

Приклад 3.10. Обчислити добуток матриці А на число 2.

Розв’язування:

>> A=[3 4;4 3];A*2

ans =

6 8

8 6

Приклад 3.11. Поміняти місцями 1-й і 3-й рядки в матриці .

Розв’язування:

>> A=[1 1 1 1;2 2 2 2;4 4 4 4]

А =

1 1 1 1

2 2 2 2

4 4 4 4

>> A=[А(3:);A(2:);A(1:)]

А =

4 4 4 4

2 2 2 2

1 1 1 1

Приклад 3.12. Помножити елементи другого рядка матриці А з попереднього приклада на число 2.

Розв’язування:

>> A=[1 1 1 1;2 2 2 2;4 4 4 4];

>> A=[А(1:);A(2:)*2;A(3:)]

А =

1 1 1 1

4 4 4 4

4 4 4 4

Приклад 3.13. Обчислити добуток матриць .

Розв’язування:

>> A=[3 4;5 6];B=[7 8;1 2];

>> A*B

ans =

25 32

41 52

>> B*A

ans =

61 76

13 16

Приклад 3.14. Виконати поелементне множення матриць А і В з прикладу 3.13.

>> A=[3 4;5 6];B=[7 8;1 2];

А.*B

ans =

21 32

5 12

>> times (A,B)

ans =

21 32

5 12

Приклад 3.15. Обчислити визначник матриці ,

мінор М₁₂ та алгебраїчне доповнення А₁₂.

Розв’язування:

>> A=[1 2 3; 3 2 1;1 2 1]

А =

1 2 3

3 2 1

1 2 1

>> det(A)

ans =

8

>> M12=det([А(2:3,1),A(2:3,3)])

M12 =

2

>> A12=(-1)^(1+2)*M12

A12 =

-2

Приклад 3.16. Перевірити властивості визначника.

Розв’язування:

>> A=[2 4;6 4];isequal (det(A),det(A'))

ans =

1

>> A=[2 4;6 4];isequal (det(A),

-det([А(:,2),A(:,1)]))

ans =

1

>> A=[2 4;6 4];isequal (4*det([2 1;6 1]),det(A))

ans =

1

>> A=[1,2,3;1,2,3;2,3,4];isequal (det(A),0)

ans =

1

>> A=[1,2,3;1,2,5;1,2,4];isequal (det(A),0)

ans =

1

>> A=[2 4;6 4];

>> isequal (det(A),det([А(:,1),A(:,2)+2*A(:,1)]))

ans =

1

>> A=[2 4 6;

0 4 2;0 0 1];isequal (det(A),8)

ans =

1

Приклад 3.17. Визначити, чи є матриця невиродженою.

Розв’язування:

>> A=[1 4 7;2 5 8;3 6 9]

А =

1 4 7

2 5 8

3 6 9

>> det(A)

ans =

0

Приклад 3.18. Обчислити обернену матрицю матриці .

Розв’язування:

>> A=[4 5;6 7]

А =

4 5

6 7

>> inv(A)

ans =

-3.5000 2.5000

3.0000 -2.0000

Приклад 3.19. Обчислити ранг матриці А з прикладу 3.17.

Розв’язування:

>> A=[1 4 7;2 5 8;3 6 9]; rank(A)

ans =

2

Приклад 3.20. Перевірити властивості рангу матриці, використовуючи матрицю А з прикладу 3.17.

Розв’язування:

>> A=[1 4 7;2 5 8;3 6 9]

А =

1 4 7

2 5 8

3 6 9

>> isequal(rank(A),rank(A'))

ans =

1

>> isequal(rank(A),rank([А(3:);A(2:);A(1:)]))

ans =

1

>> isequal(rank(A),rank([А(:,1),2*A(:,2),A(:,3)]))

ans =

1

>> isequal(rank(A),rank([А(:,1),A(:,1)+A(:,2),A(:,3)]))

ans =

1

Таким чином, всі розглянуті властивості для рангу матриці виконуються.

Приклад 3.21. Перевірити рівність матриць і,а також чи є вони еквівалентними.

Розв’язування:

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9],B=[3 2 1;6 5 4;9 8 7]

А =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

B =

3 2 1

6 5 4

9 8 7

>> isequal(A,B)

ans =

0

>> isequal(rank(A),rank(B))

ans =

1

Отже, матриці А і В не рівні між собою, але є еквівалентними.

Приклад. 3.22. Дослідити на сумісність наступну систему рівнянь:

Розв’язування:

>> A=[1 3 2;2 -1 3;3 -5 4];B=[4 1 2]';

>> [rank(A),rank([А B])]

ans =

2. 3

Оскільки ранг розширеної матриці не дорівнює рангу матриці коефіцієнтів системи лінійних рівнянь, то дана система несумісна, тобто не має розв’язку.

Приклад 3.23. Розв’язати за допомогою матричного методу систему лінійних рівнянь:

Розв’язування:

1. Обчислимо визначник матриці А:

2. Оскільки визначник матриці А не дорівнює нулю, то існує обернена матриця А':

3. Обчислимо добуток оберненої матриці на вектор-стовпець вільних членів:

4. Отриманий результат і є вектор-стовпец X:

Для розв’язування системи лінійних рівнянь за матричним методом за допомогою MATLAB в командне вікно слід ввести наступну команду:

>> X=inv([5 4;1 1])*[15;5]

X =

-5

10

Приклад 3.24. Розв’язати систему лінійних рівнянь за допомогою формул Крамера

Розв’язування:

1. Обчислимо визначник системи А, і якщо він не дорівнює нулю, обчислимо визначники А_х1 і А_х2 : , , .

2. Застосуємо формули Крамера для визначення значень х₁ і х₂: , .

3. Таким чином, розв’язком системи є х1 = -5, х2 = 10.

Виконаємо вказані операції за допомогою системи MATLAB:

>> A=[5 4;1 1];B=[15;5];d=det(A)

d =

1

>> [B А(:,2)],dx1=det(ans) % обчислення визначника dx1

ans =

15 4

5 1

dx1 =

-5

>> [А(:,1) B],dx2=det(ans) % обчислення визначника dx2

ans =

5 15

1 5

dx2 =

10

>> X=[dx1/d;dx2/d] % отримання розв’язку системи

X =

-5

10

Приклад 3.25. Розв’язати систему лінійних рівнянь з прикладу 3.25 з використанням оператора «\» в системі MATLAB:

>> A=[1 -2 2;2 -1 3;3 2 -1],B=[3;9;4]

А =

1 -2 2

2 -1 3

3 2 -1

B =

3

9

4

X=(A\B)'

X =

1.0000 2.0000 3.0000

Інструкція до виконання лабораторної роботи №3

Тема: Визначення потужності двигуна та побудова його зовнішньої швидкісної характеристики.

Мета:Засобами Мathcad визначити потужность двигуна та побудувати його зовнішньої швидкісної характеристики.