30

Поскольку движение точки М в некотором интервале времени, включающее момент t, прямолинейно, вектор WM определяет полное ускорение точки М.

2.3.Плоское движение твердого тела

2.3.1.Уравнения плоского движения

Движение тела называется плоским, если все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости Q0 . Для определения уравнений плоского движения тела проведем через какую-либо его точку М плоскость Q, параллельную Q0, и рассмотрим сечение S тела плоскостью Q, называемое плоской фигурой (рис. 2.7). Если через точку М плоской фигуры провести жестко связанную с телом прямую, перпендикулярную S, то при движении тела эта прямая будет двигаться поступательно, а значит скорости (ускорения) всех точек тела, лежащих на этой прямой

Рис. 2.7

будут равны скорости (ускорению) точки М фигуры S. Таким образом, плоское движение трехмерного тела сводится к изучению движения его плоской фигуры S в плоскости Q. С другой стороны положение S на Q вполне определяется положением любых двух точек, принадлежащих этой фигуре S.

32

Равенство (2.31) справедливо для любого момента времени, поэтому его можно продифференцировать по t

точками А и В не меняется (тело твердое), так что перемещаемость связана с его вращением вокруг полюса А. Поэтому скорость конца вектораrrBA , будет равна по модулю произведению ω на расстояние h (h= rBA ) (см. 2.29) и направлена в сторону вращения rBA , что и описывается правой частью равенства (2.33).

Равенство (2.34) выражает теорему о сложении скоростей при плоском движении: скорость любой точки плоской фигуры VB равна геометрической сумме скорости полюса VrA и вращательной скорости этой точки вокруг полюса. Из равенства (2.34) также следует, что проекции скоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти две точки, алгебраически равны (так как VrBA АВ).

33

Мгновенным центром скоростей (МЦС) плоской фигуры называется такая ее точка Р, скорость которой в данный момент времени равна нулюVP=0. При этом скорости точек плоской фигуры распределяются так, как если бы фигура вращалась вокруг Р как вокруг неподвижной точки. Действительно, если принять Р за полюс в соответствии с (2.34) скорость любой точки В фигуры будет вращательной вокруг полюса Р (VP=0). Отсюда следует, что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до МЦС и направлены перпендикулярно отрезкам, соединяющим эти точки с МЦС, в сторону вращения фигуры.

Таким образом, если положение МЦС фигуры известно, задача о нахождении скоростей ее точек легко решается графически.

Рассмотрим способы нахождения МЦС в частных случаях:

1. Известны линии действия скоростей двух точек А и В плоской фигуры, не параллельные друг другу. Тогда МЦС находится в точке пересечения перпендикуляров к этим двум линиям, проведенным через точки А и В (рис. 2.9, а).

Рис. 2.9 2. Линии действия скоростей двух точек А и В плоской фигуры параллельны и

не перпендикулярны отрезку АВ. В этом случае перпендикуляры к линиям действия скоростей, проведенные через А и В, параллельны (пересекаются в бесконечно удаленной точке), что соответствует состоянию мгновенно-

34

поступательного движения фигуры с обращением в ноль ее угловой скорости

ω. Скорости точек А и В векторно равны (рис. 2.9,б).

3.Линии действия скоростей точек А и В фигуры параллельны друг другу и перпендикулярны отрезку АВ. Тогда перпендикуляры к линиям действия скоростей, проведенные через А и В, сливаются, так что их любая точка может быть МЦС фигуры. Здесь для определенности должны быть дополнительно

заданы скорости VrA и VrB и МЦС определяется так, как показано на рис. 2.9, а, б. 4. Фигура катится без скольжения по неподвижной кривой. Поскольку при качении без скольжения скорости точек фигуры и кривой, находящиеся в контакте, равны друг другу, но МЦС совпадает с той точкой фигуры, которая касается в данный момент рассматриваемой неподвижной кривой.

2.3.3. Ускорения точек плоской фигуры

Продифференцируем обе части равенства (2.34) по времени, получим

выражающем теорему сложения ускорений при плоском движении: ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и касательного и нормального ускорений этой точки относительно полюса.

35

Пример 4. Найти ускорение мгновенного центра скоростей колеса, катящегося без скольжения, с постоянной скоростью VО его центра О. Радиус колеса равен R (рис. 2.10 ).

Рис. 2.10

Решение. Из условия качения без скольжения скорость точки Р касаниия колеса с рельсом равна нулю и, следовательно, эта точка является мгновенным центром скоростей колеса. Принимая Р за полюс, найдем для центра колеса

(точки О) движущейся равномерно и прямолинейно (VO = const ).

VP =VP +VOP ,

но VP = 0 , а VOP = ω OA =VO , отсуда

Ускорение точки Р, если за полюс принять центр колеса О будет равно

WrP =WO + WPOτ +WPOn ,

при этом WrO = 0 , так как VrO = const ; WPOτ =0, так как ε = 0 , следовательно

Вектор WrP как и вектор нормального ускорения WPOn точки Р направлен от

Р к центру О.