23

ускорение - изменение вектора скорости по величине. Таким образом, при равномерном движении точки ( V =const) Wτ =0, а при движении точки по прямой (k = 0, ρ = ∞) Wn =0

Пример 3.

Определить нормальное и касательное ускорения точки М, а также кривизну k ее траектории при движении точки в соответствии с уравнениями x=a cos ωt , y=a sin ωt .

Решение. Дифференцируя уравнения движения по времени, определим проекции Vx и Vy ее скорости, а также проекции Wx ,Wy ее ускорения W на оси

X и Y.

aω2 = a2ρω2 ,

откуда а = ρ, таким образом, траектория точки М – окружность радиуса а с центром в начале координат.

2.2. Кинематика твердого тела

24

В кинематике любое движение твердого тела относят к одному из пяти видов движения: поступательному, вращению вокруг неподвижной оси, плоскому (или плоско-параллельному), сферическому (или вращению вокруг неподвижной оси) и произвольному пространственному. При этом поступательное и вращательное движения тела называются простейшими не только из-за простоты их описания, но и потому что на эти два элементарных движения можно разложить все остальные.

2.2.1. Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такой вид движения твердого тела, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной своему начальному положению.

Рис. 2.4

При этом точки любой из таких прямых могут описывать самые разнообразные траектории, в том числе и прямолинейные.

Примером поступательного движения в прикладной механике служит, например, движение спарника – звена четырехзвенного механизма с равными по длине противоположными звеньями.

26

Вращением тела вокруг оси называется такое его движение, при котором по крайней мере две фиксированные N1 и N2 точки тела остаются неподвижными относительно выбранной системы отсчета. Прямая N1 N2 , проходящая через эти две точки называется осью вращения тела (рис. 2.5, а).

Рис. 2.5

Пространственное положение тела можно при этом охарактеризовать величиной угла между плоскостями Q0 и Q, проведенными через ось вращения NN1, из которых Q0 считается неподвижной, а Q – жестко связанной с телом (рис. 2.5, а). Угол ϕ между этими плоскостями называется углом поворота тела вокруг рассматриваемой оси, он измеряется в радиальной мере и отсчитывается от плоскости Q0 к плоскости Q против хода часовой стрелки, если смотреть с вершины оси вращения. В кинематике закон изменения угла поворота тела ϕ полагается заданным,

а само уравнение (2.24) называется уравнением вращения тела.

27

Производная по времени от угла поворота ϕ называется угловой скоростью

ω(частотой вращения) тела

она измеряется в радианах в секунду (рад/с=с-1). Производная угловой скорости

ωпо времени называется угловым ускорением ε тела и измеряется в радианах

всекунду за секунду (рад/с2=с-2).

вращение тела, смотря с вершины оси вращения, происходит против хода часовой стрелки; угловое ускорение тела ε считается положительным, если вращение тела при ω > 0 является ускоренным на рис. 2.5, б положительныеω и ε показаны кривыми стрелками. Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным; вращение с постоянным угловым ускорением – равнопеременным. В технике угловую скорость вращения (частоту вращения)

Рассмотрим движение произвольной точки М тела, находящейся на расстоянии h от оси вращения. Траекторией точки М, будет очевидно окружность радиуса h с центром О, находящимся на оси вращения. Положение точки М можно определить дуговой координатой s, соответствующей углу ϕ,

Равенство (2.28) можно рассматривать как уравнение движения точки М, заданное в естественной форме. Следовательно, алгебраическую скорость

28

Vτточки М, а также ее касательное и нормальное ускорения Wτи Wn можно вычислить по формулам (2.11) и (2.17)

Соотношения (2.29), если их относить к фиксированному моменту времени t, определяют распределение скоростей и ускорений точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, как видно из формулы (2.29) скорости и ускорения точек тела пропорциональны их расстояниям до оси вращения , угол β наклона полного ускорения W точкикрадиусуh этойточкинезависитот расстоянияточки доосивращения (рис. 2.5, б).

Для того, чтобы не связывать положительное направление вращения тела с направлением оси вращения, угловую скорость ω тела рассматривают как вектор ωr , направленный по оcи вращения всторону, откудавращение телапредставляется происходящим против хода часовой стрелки, и равный по модулю абсолютному значениюугловойскорости ω. Точнотакжевводитсявектор ε угловогоускорения тела: по модулю он равен абсолютной величине ускорения ε и направлен по оси вращениятела. Приускоренномвращении(знаки ω и ε совпадают) векторы ω и ε однонаправлены; при замедленном вращении (знаки ω и ε противоположны) эти векторынаправленыпротивоположнодругдругу. (рис. 2.5,б)

Пример 3. Ременная передача состоит из двух шкивов А и В (рис. 2.6), радиусов rA и rB соответственно, шкивы вращаются вокруг неподвижных осей ОА и ОВ . Угловая скорость ωA шкива А изменяется по закону

ωA = ωA (t).

29

Рис. 2.6

Найти угловую скорость ωB и угловое ускорение εB шкива В, а также скорость VrM и ускорение WrM произвольной точки М ремня, считая что ремень нерастяжим и проскальзование между ремнем и шкивами отсутствует.

Решение. Из условия нерастяжимости ремня следует, что скорости всех его точек равны по величине в любой момент времени t. Из-за отсутствия проскальзования между ремнем и шкивами, скорости точек ремня и шкивов, находящихся в контакте, также равны по величине. Обозначая через VA, VB и VM окружные скорости шкивов А, В и ремня М, (рис. 2.5) будем иметь

VA = VB = VM,

причем

VA = ωArA ; VB =ωBrB .

Следовательно

ωArA = ωBrB =VM ,

откуда

Эти равенства справедливы для любого момента времени t, поэтому их можно дифференцировать по времени. Производя дифференцирование получим