15

– 3 (O) и 2 – 3 (O) – вращательные, низшие пары четвертого класса. Степень подвижности каждого из этих механизмов будет равна:

РАЗДЕЛ 2. КИНЕМАТИКА

Кинематика как раздел теоретической механики изучает механическое движение тел, понимая под движением тела его перемещение в пространстве и во времени. В качестве моделей тел в кинематике рассматриваются материальные точки (тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь) и абсолютно твердое тела (совокупность материальных точек, находящихся на неизменных расстояниях друг от друга).

Эти модели используются и в теории машин и механизмов как разделе прикладной механики. В частности, модель материальной точки применяется при описании движения ползунов (поршней); модель твердого тела. вращающегося вокруг неподвижной оси – при описании движения кривошипов, рычагов, коромысел; а модель твердого тела плоская фигура которого движется в фиксированной плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости

– при описании движения звеньев рычажных, кривошипно-ползунных, планетарных и других механизмов.

Задача кинематики состоит в определении кинематических элементов движения тел, а применительно к механизмам – в определении угловых скоростей и угловых ускорений звеньев, а также траекторий, скоростей и ускорений точек сочленения звеньев и центров их масс.

2.1. Кинематика точки

При описании положения точки в физическом пространстве оно полагается трехмерным, однородным и снабжается декартовой системой

16

отсчета. Время считается одинаково протекающим в каждой точке рассматриваемого пространства.

2.1.1. Способы задания движения точки

Движение точки в кинематике задается одним из трех способов: векторным, координатным или естественным.

1. При векторном способе задания движения точки ее положение М задается вектором – радиусом rr, проведенным из начала О. При движении точки вектор rr(t) изменяется со временем по закону (рис. 2.1), который в кинематике считается заданным

Рис. 2.1

Конец вектора r (t) (точка М) описывает в выбранной системе отсчета кривую, называемую траекторией точки (кривая M1M 2 , рис. 2.1). Равенство

(2.1) представляет закон движения точки М в векторной форме.

17

2. При координатном способе задания движения положение точки М задается тремя ее проекциями XYZ на координатные оси –изменяющимися во

Поскольку равенства (2.2) определяют движение точки М в пространстве, т.е. по траектории, они могут рассматриваться как пространственные уравнения траектории.

Равенство устанавливает связь между векторным и координатным способами задания движения точки.

3. При естественном способе задания движения точки М ее траектория M1M 2 в системе координат OXYZ считается известной. Тогда определение положения точки М в пространстве сводится к определению ее положения на

отсчитываемой от М0 в направлении положительных значений дуг. При движении точки М ее дуговая координата s будет изменяться во времени по

Равенство (2.4) представляет закон движения точки М в естественной форме.

Решение. Так как в уравнениях движения отсутствует координата z, то движение точки происходит в плоскости OXY. Для нахождения траектории точки исключим из уравнений ее движении время t. Для этого воспользуемся

18

основным тригонометрическим тождеством sin2 α+cos2 α=1. Возводя в квадрат оба равенства (*) и складывая их, получим

x2 + y2 = a2 (sin2 ωt + cos2 ωt) = a2 (**)

Уравнение (**) определят окружность радиуса а с центром в начале координат.

2.1.2. Скорость точки

Понятие скорости точки вводится для оценки быстроты изменения ее положения в пространстве.

1. При векторном способе задания движения скорость точки определяется как вектор Vr, равный пределу отношения приращения r ее векторарадиуса rr к соответствующему приращению времени t (рис. 2.2).

Математически предел (2.5) определяет производную векторной функции rr = rr(t) по скалярному аргументу t , т.е.

Vrнаправлен по касательной к траектории в точке М в сторону ее движения.

Равенство (2.6) определяет скорость V точки М при векторном способе задания ее движения.

19

X y

Рис. 2.2.

2. При координатном способе задания движения точки (2.2) ее вектор - радиус может быть представлен в виде (2.3). Внося (2.3) в (2.6) получим

откуда видно, что производные x&, y&, z& текущих координат точки совпадают с проекциями ее скорости на координатные оси XYZ.

Mодуль V вектора скорости V точки и его направляющие косинусы вычисляются по формулам

3. При естественном способе задания движения точки ее вектор-радиус r является функцией дуговой координаты s(t) и, следовательно, сложной функцией времени t

Подставляя (2.9) в (2.6), получим

21

cos(Vr, ir) = VVx = − aωasinωωt = sin ωt = cos(π2 + ωt) , cos(Vr, rj) = VVy = aωcosaω ωt = cos ωt .

На рис. 2.3 показан вектор V скорости точки М, направленный по касательной к ее траектории.

2.1.3. Ускорение точки

Понятие ускорения вводится для оценки изменения вектора скорости точки во времени.

1. При векторном способе задания движения ускорение точки определяется

2. При координатном способе задания движения точки ее ускорение

Модуль W вектора ускоренияWr и его направляющие косинусы вычисляются по формулам

3. При естественном способе задания движения точки, дифференцируя (2.11) по времени, получим

22

Слагаемое &s&τr в (2.15) представляет касательную, составляющую Wτ

ускорения Wr точки и называется касательным ускорением. Слагаемое s&2 ddsτ

выражения (2.15) представляет нормальную составляющую Wrn и называется нормальным ускорением точки; поскольку орт τ постоянен по модулю,

производная ddsτ перпендикулярнаτ. В случае плоской траектории вектор ddsτ

лежит в плоскости траектории и направлен в сторону ее вогнутости.

Единичный вектор n , направленный поddsτ , называется ортом главной нормали к траектории в точке М. Модуль вектора ddsτ называется кривизной k

траектории в точке М, а величина обратная кривизне – радиусом кривизны траектории в этой точке

Очевидно, кривизна прямолинейной траектории равна нулю, и соответственно ее радиус кривизны k равен бесконечности для окружности радиуса

ρ= 1k = R .

Сучетом соотношений (2.16) выражение (2.15) примет вид

где Wrn = s&2 ρ1 nr,Wrτ = &s&rτ– нормальное и касательное ускорения точки М соот-

ветственно. С учетом перпендикулярности векторов Wn и Wτ получим