129

5.9.Расчет элементов конструкций при чистом изгибе

5.9.1.Определение напряжений и расчет на прочность при чистом изгибе

Чистым изгибом называется вид деформации, при котором в каждом поперечном сечении единственным силовым фактором является изгибающий момент M y или M z . При чистом изгибе происходит искривление оси бруса в плоскости сечения. Предполагается, что при чистом изгибе сечения плоские и перпендикулярные к продольной оси в недеформированном сотоянии остаются

Рис. 5.14

перпендикулярными и плоскими к деформированной оси бруса (рис. 5.14, а). Брус, работающий на изгиб, называют балкой.

Вырежем элемент длиной dx в деформированном состоянии (рис. 5.14, б). Торцевые сечения элемента балки вследствие действия изгибающего момента

M z располагаются под углом dϕ, где C – центр кривизны балки.

Верхние волокна укоротятся, а нижние получат удлинение по сравнению с первоначальной длиной. Следовательно, между этими волокнами имеется волокно, имеющее первоначальные размеры, которое называется нейтральной осью балки, относительно которого происходит растяжение и сжатие волокон

130

материала. Радиус кривизны волокон nn1 равен ρ. Волокно CC′ растянется,

которое отстоит от нейтральной оси на расстоянии y и получит удлинение

= CC′− nn′ = (ρ+ y)dϕ−ρ dϕ = y dϕ.

Qy = Qz =Tx = 0 , а нормальные напряжения должны изменять знак, то есть части торцов элемента балки растягиваются, а другие части сжимаются, так как

Nx = 0, относительное удлинение будет равно

ε= nn′ = ρy ddϕϕ = ρy .

Всоответствии с законом Гука, такое удлинение обусловлено нормальным напряжением

σ= εE = ρy E ,

то есть напряжения изменяются по линейному закону и достигают максимального значения при y , равному наибольшему удалению от оси z .

Проведем сечение, которое будет находиться в равновесии под действием внешних и внутренних сил. Напишем уравнение равновесия, откуда определим внутренние силовые факторы

центр тяжести сечения (см. раздел 4)

131

из которого следует обращение центробежного момента инерции I yz в ноль.

Следовательно, нейтральная линия не только является центральной (проходящей через центр тяжести), но главной центральной осью инерции сечения.

Таким образом, волокна в нижней части подвержены растяжению, а в верхней – сжатию. Изгибающий момент M z относительно оси z определяется

Из полученного выражения следует, что максимальное растягивающее σр и

минимальное сжимающее σс напряжения достигают на нижней и верней поверхностях балки при y = ymax , то есть

соответственно (см. раздел 5.3.2). Эпюра нормальных напряжений носит линейный характер.

Таким образом, при изгибе наибольшие по модулю напряжения действуют в наиболее удаленных от нейтральной линии точках. Условие прочности для таких точек имеет вид

σmax р.сж ≤ [σ].

132

При проектном расчете точек различных профилей позволяет определить требуемый осевой момент сопротивления

Wz ≥ M[σ]z

и назначить соответствующее сечение. При этом целесообразно учесть расход материала, который пропорционален площади поперечного сечения A . Для определения такого сечения используют выражение

k = W ,

A3

где k – безразмерная величина, называемая осевым удельным моментом сопротивления. Например, для круга k = 0,14, для квадрата k = 0,167 , для швеллера k = 0,57...1,35 [11]. Это означает, что при одинаковом поперечном сечении двутавровые балки при работе на изгиб наиболее экономичны. Этим объясняется применение двутавровых балок и подобных профилей.

5.9.2. Определение перемещений и расчет на жесткость при изгибе

При изгибе центры тяжести поперечных сечений перемещаются в направлении оси x , а сечения одновременно поворачиваются на некоторый угол. Деформированное состояние балки (ее изогнутая ось) характеризуется функцией прогиба. Функция прогибов или упругая линия в каждой точке характеризуется кривизной 1/ ρ. Из курса математического анализа известно, что

При малых прогибах (dy / dx)2 <<1 приближенное значение кривизны как функции прогибов и связь ее с изгибающим моментом и геометрия сечения примет вид

133

Это дифференциальное уравнение изогнутой оси балки в общем случае зависит от изгибающего момента и момента инерции сечения. Дважды интегрируя это дифференциальное уравнение по координате x от нуля до текущего сечения, получим для угла поворота сечения

для шарнирно-неподвижной опоры Qy = 0, Nx = 0 и для шарнирно-подвижной опоры Qy = 0.

В качестве примера определим прогибы и углы повороты сечений призматической балки, нагруженной сосредоточенной силой F (рис. 5.15, а).

Балка освобождается от связей и связи заменяются реакциями связей R1y ,

R1x и R2 y (опора 1 шарнирно-неподвижная, а 2 – шарнирно-подвижная) и из условий равновесия балки, применяя принцип первоначальных размеров, определяем реакции связей

∑Прx = R1x = 0 , ∑m1 = R2 y (a +b)− F a = 0, откуда R2 y = a a+ b F .

134

Рис. 5.15

∑Пр y = R1 y − F + R2 y = 0 , откуда R1 y = F − R2 y = a +a b F .

Разбиваем балку на грузовые участки I и II (где внешние силы постоянны) (рис. 5.15, б) и методом сечений определяем изгибающий момент на первом грузовом участке (рис. 5.15, в)

M z1 = R1 y x = a a+ b F x , где 0 ≤ x ≤ a .

Для второго грузового участка ( a < x ≤ a + b ) (рис. 5.15, г)

136

Подстановка найденных произвольных постоянных в выражения для прогибов и углов поворота сечений позволяют найти функции прогибов и углов

где [у], [θ] – допускаемые прогиб и угол поворота определяются исходя из

эксплуатационных соображений, а частности допускаемыми зазорами между вращающимися и неподвижными частями, допускаемой неравномерностью распределения нагрузки по ширине зубчатого венца или по длине ролика подшипника, переносом подшипника скольжения и т.п. Например,

допускаемый прогиб для валов цилиндрических передач [у] 0,1 m, где m –

модуль зацепления, [у] 6 10−3 m для валов конических и червячных передач.

Для валов общего назначения принято

[у]= (2...3) 10−4 l ,

где l – длина вала.