91
обеспечивающих их работоспособность, на прочность и жесткость при минимальном расходе материала [6], [11].
5.1. Схематизация формы элементов конструкций
Множество элементов конструкций, применяемых в инженерной практике отличаются между собой размерами и формой. В расчетной схеме реальные элементы машин представляются в виде совокупности тел простой геометрической формы. К таким телам относятся брусья (стержни, балки, валы и т.д.), оболочки, пластины, массивы.
Брус – элемент конструкции, у которого один размер (длина) значительно больше двух других поперечных размеров (высота, ширина) (рис. 5.1, а). Это условие записывается в виде сильного неравенства. Линию, соединяющую центры тяжести поперечных сечений OO , называют продольной осью бруса. При пренебрежении малыми поперечными размерами стержень называют нитью (струной).
l >> b, h
а)
h O |
O |
b
l
б)
y
z
Рис. 5.1
92
По форме оси различают: прямолинейные и криволинейные брусья, а по изменению площади поперечного сечения – брусья постоянного поперечного сечения (призматические) и переменного (непризматические). Поперечные сечения брусьев представляют разнообразные плоские фигуры (рис. 5.1, б): прямоугольники (многоугольники), круг, круговое кольцо, а также фигуры стандартного проката (уголок, швеллер, тавр, двутавр).
Оболочка – элемент конструкции, у которого два измерения l , b на много больше третьего – высоты, то есть l , b >> h . В случае плоских поверхностей оболочка называется плитой или пластиной (перекрытия зданий, купола, крыши и т.д.).
Массив – элемент конструкции, у которого все три размера соизмеримы (одного порядка) [6], [11]. Оболочки и массивы рассматриваются в специальной литературе.
5.1.1. Механические связи
Связи деталей между собой могут быть подвижными (например, в кинематических парах) и неподвижными (в соединениях деталей машин), такие как резьбовые, штифтовые, шпоночные, сварные, заклепочные, клеевые. Их схематизация зависит от конструктивного исполнения, возможности относительных смещений и возникающих при этом усилий (реакций связей). Распространены шарнирные, упругие и неподвижные связи (рис. 5.2). Идеальная шарнирная связь (без учета сил трения) обеспечивает возможность свободного относительного поворота деталей вокруг центра шарнира, момент сил трения при этом равен нулю (рис. 5.2, а). В отличие от нее в идеальной упругой шарнирной связи возникает момент, зависящий от угла поворота. В неидеальной связи возникает момент сил трения. Аналогичные особенности имеют место и в связи типа поступательной пары, когда при относительном линейном смещении сила может отсутствовать (идеальная), быть зависимой от смещения (упругая) (рис. 5.2, г) или быть равной силе трения (неидеальной).
93
Эти модели широко используются для схематизации валов с подшипниками, где наличие осевых зазоров позволяет представить один из подшипников в виде шарнирно-неподвижной опоры (рис. 5.2, а), а другой – в виде шарнирноподвижной опоры (рис. 5.2, б). В первом случае опора не препятствует повороту, но исключает осевое смещение, почему и называют фиксирующей, во втором случае опора не препятствует повороту и осевому смещению и ее называют плавающей.
В неподвижном соединении исключена возможность относительных смещений деталей. Такими соединениями являются защемление или заделка конца бруса (рис. 5.2, в).
Так, в идеальной шарнирно-подвижной опоре возможно возникновение
только вертикальной реакции Rny , |
компоненты реакции: |
Rnz = 0; |
M nx = 0. В |
|||||||||||||
шарнирно-неподвижной опоре возможно возникновение |
Rny , Rnz |
и имеет |
||||||||||||||
место M nx = 0. Наконец, |
в заделке возможно появление уже трех компонентов |
|||||||||||||||
реакции: Rny , Rnz , |
M nx . В упругой опоре (рис. 5.2, г) реакции Rny = −cy , где c |
|||||||||||||||
– жесткость опоры, |
|
y – перемещение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
|
|
б) |
в) |
|
|
г) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
у |
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
Rny |
|||
|
|
Rny |
|
|
Rny |
|
у |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
|
x |
Rny |
Rnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Rnx |
|
M nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
С |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 5.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Согласно принципу освобождаемости от связей, который заключается в том, что любое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если
94
мысленно освободить его от связей, заменив их действие соответствующими реакциями связей.
Реакции связей неизвестны и определяются методами статики из условия равновесия сил, действующих на систему. Такими условиями являются равенство нулю суммы проекций активных сил и реакций на оси координат и суммы проекций моментов этих сил и реакций на оси координат.
Полагая в (3.16) и (3.19) левые части (инерционные члены) выражений равными нулю, приходим к уравнениям статики. Если при этом полученные уравнения позволяют найти все реакции, то система называется статически определимой. Статически определимые системы имеют число степеней свободы, равное числу неизвестных реакций, а степень статической неопределимости эквивалентна отрицательным степеням подвижности, то есть w < 0 .
В общем случае выбор модели связи является ответственной операцией, поскольку она существенно влияет на поведение системы. Например, достаточно большое трение в шарнире может исключить возможность поворота и тем самым шарнирно-неподвижную систему превратить в защемление.
5.1.2. Схематизация нагрузок
На выделенный элемент конструкции действуют различные силы и моменты сил, которые определяется методами расчленения и замены воздействия элементов друг на друга соответствующими реакциями. Решение задачи по определению нагрузок упрощается схематизацией сил по способу приложения и по времени изменения.
Схематизация по способу приложения различает сосредоточенные силы, приложенные к отрезку, площадке или объему, размеры которых малы по сравнению с общей длиной, площадью или объемом детали и распределенные силы, приложенные к отрезку, площади или объему значительной величины. Распределенные нагрузки характеризуются интенсивностью нагрузки в данной точке, под которой понимают величину
95
q =lim |
F |
, |
u→0 |
u |
|
где F – величина силы, приходящаяся на участок с длиной, площадью или объемом u .
Распределенная нагрузка часто задается в виде функции q(x), где x –
продольная координата бруса. Например, нагрузка на зубец колеса является распределенной по ширине зубца и в идеальном случае неизменна по ширине,
то есть q = Fn /b , где Fn – нормальное усилие в зацеплении; b – ширина зубца.
По времени изменения различают статические и динамические нагрузки. Статическими называют медленно изменяющиеся нагрузки. В идеале статическая нагрузка является постоянной и действующей бесконечно большое время.
Динамические нагрузки непосредственно зависят от ускорений как рассматриваемого тела, так и взаимодействующих с ним тел. Повторно переменные нагрузки изменяются в течение малого промежутка времени [6], [11].
5.1.3. Перемещения. Деформации. Принципы
Действие сил и моментов сил на элемент конструкции приводит к изменению ее формы и размеров. Способность к деформированию является следствием молекулярного строения тел, при котором молекулы находятся на некотором расстоянии друг от друга под влиянием молекулярных сил взаимодействия. Приложение внешних сил нарушает нормальное расстояние между частицами. Это изменение формы и размеров называется деформацией.
По геометрии различают линейную и угловую деформации. При линейной деформации происходит, например, увеличение длины бруса при действии продольной силы на величину l =l −l0 (рис. 5.3, а) и называется абсолютным
удлинением, а lim |
l |
l |
= ε -называется линейной деформацией. При угловой |
l0 →0 |
0 |
|
|
|
|
96
деформации прямоугольник превращается в параллелограмм с углом наклона сторон γ (рис.5.3, б). Эта деформация называется сдвигом (срезом).
Растяжение бруса и сдвиг (срез) являются простейшими видами деформации. Все остальные виды деформации относятся к сложным и представляют комбинации простейших видов.
По сохранению деформации после устранения нагрузки различают упругую, остаточную и пластическую деформации. Упругая деформация исчезает полностью, то есть брус, например, приобретает снова длину l0 .
При пластической деформации она не исчезает, то есть брус будет иметь длину l1 . Большинство материалов имеет как упругую, так и пластическую деформации, то есть после снятия нагрузки длина бруса будет меньше l , но больше l0 . Наличие остаточной деформации говорит о необратимости про-
цессов нагружения и разгрузки, то есть о переходе энергии, затраченной на деформацию, в другие виды.
По охвату конструкции различают общие и местные деформации. Общая деформация распространяется на всю конструкцию детали, а местная затрагивает ее некоторую часть. Опыт показывает, что различные нагрузки существенно отражаются на местной деформации и несущественно на общей деформации. Поэтому для упрощения расчета общей деформации широко используется замена одной нагрузки другой, статически ей эквивалентной, то есть с тем же главным вектором и главным моментом сил. Местной деформацией при этом пренебрегается. Это положение носит наименование принципа Сен-Венана [6], [11].
На основании этого принципа, например, распределенная по ширине зубца нагрузка может быть заменена сосредоточенной силой Fn , приложенной посередине ширины зубца. От этого деформация вала изменится незначительно, но расчет значительно упрощается.
По величине различают малые и большие деформации. Малые деформации незначительно изменяют конфигурацию элемента конструкции и не оказывают
97
существенного влияния на взаимное расположение нагрузок. Так, например, малость угла сдвига γ (рис. 5.3, б) позволяет не учитывать изменение высоты параллелограмма по сравнению с высотой прямоугольника. Это положение носит наименование принципа начальных размеров Кирхгофа.
а)
l0
l
б) F
γ γ
F
Рис. 5.3
При рассмотрении деформированного состояния элемента конструкции широко используется принцип Бернулли, существо которого состоит в допущении того, что поперечные сечения, плоские и перпендикулярные к оси бруса до приложения нагрузки, остаются плоскими и перпендикулярными к деформированной оси бруса после приложения нагрузки.
Цель приведенных допущений состоит в максимальном упрощении решения задачи по определению прочности с сохранением необходимой точности. Использование этих допущений имеет границы, выход за которые требует дальнейших уточнений. Так, например, отказ от перпендикулярности сечений к