77

Интегрируем ( 4 )при начальных условиях t = 0, xc = ρ, x&c = 0 , получим

Однако качение ведущего колеса без скольжения возможно при моменте М, не

При М > 1r {P[f (r2 +ρ2 + rfk ]cos α −ρ2 (P sin α + S)}колесо начинает скользить.

РАЗДЕЛ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАШИНЫ

4.1. Расчет машинного агрегата

Машинным агрегатом называется соединение двигателя, передаточного механизма (ПМ), исполнительного механизмов (ИМ), и системы управления. Структурная схема агрегата изображена на рис.4.1. Двигатель 1 предназначен для преобразования любого вида энергии в механическую. Двигатели бывают электрическими и тепловыми, двигателями внутреннего сгорания, гидравлическими, пневматическими и т.д.). К входному звену механической системы

78

2 приложен момент сил движущих или движущая сила. Передаточный механизм 2 преобразует движение выходного звена двигателя в требуемое движение исполнительных органов машинного агрегата. Исполнительный механизм 3 выполняет требуемый технологический процесс. При выполнении рабочего процесса возникают силы или моменты сил полезного или производственного сопротивления. Двигатель может состоять из двух звеньев (электродвигатель – ротор и статор) или из нескольких многозвенных механизмов (двигатель внутреннего сгорания включает в себя рычажные, зубчатые, кулачковые механизмы). Система управления движением 5 формирует управляющий сигнал u . Система обратной связи 4 формирует дополнительный сигнал u ,

уменьшающий отклонение реального движения от программного (заданного).

и T9

ОС

4

Рис. 4.1

Итак, рассматриваемая модель машинного агрегата представляет собой многозвенную механическую систему. При решении задач динамики можно использовать принцип освобождения от связей. Тогда для каждого звена необходимо составить общие уравнения движения (4.1), в которые войдут как активные силы, так и реакции связей. В результате получим n дифференциальных уравнений, решение которых представляет трудоемкую задачу.

Упростим динамическую модель, которую представим в виде двухзвенного механизма (рис. 4.2). Все силы и моменты сил, действующих на звено приведения, представим в виде некоторых интегральных оценок [12], [13].

79

ω

Iпр

1

2

Рис. 4.2

Рассмотрим сколь угодно сложный механизм с одной степенью свободы, имеющий n звеньев, который представим в виде модели двухзвенного механизма (рис. 4.2), состоящего из кривошипа 1 и стойки 2. Пусть звено 1

обладает: I пр – приведенным моментом инерции и к нему приложен Тпр – приведенный момент сил. Закон движения звена приведения 1 совпадает с законом движения начального звена. Пусть начальное звено совершает вращательное движение с угловой скорость ω.

Составим уравнение движения машинного агрегата, применяя теорему об изменении кинетической энергии для механической системы в виде

k

в конечном и начальном положениях механизма; ∑ Aj – работа всех активных

j=1

сил при перемещении механизма из начального в конечное положение. Применяя теорему об изменении кинетической энергии для двухзвенного

механизма, получим

80

где E , E0 – кинетические энергии звена приведения соответственно в конечном и начальном положениях; A – работа приведенной силы или приведенного момента на рассматриваемом перемещении.

Сопоставляя (4.1) и (4.2), получим

приведенные силу и момент силы (обобщенную силу).

4.4.1. Приведение масс и моментов инерции к звену приведения

Рассмотрим приведение масс и моментов инерции к звену приведения на примере кривошипно-ползунного механизма (рис. 1,а).

Пусть звеном приведения является кривошип, который совершает вращательное движение с угловой скорость ω. Кинетическая энергия звена приведения равна

рость звена приведения – кривошипа. Согласно (3.35) и (3.36) кинетическая энергия всех подвижных звеньев будет равна

3

∑Ei = E1 + E2 + E3 ,

i=1

где E1 , E2 , E3 – кинетические энергии кривошипа, шатуна, ползуна соответственно.

Кинетическая энергия кривошипа

81

E1 = 12 Iк ωк2 ,

где Iк – момент инерции кривошипа относительно оси вращения.

Шатун совершает сложное плоское движение. По теореме Кенига кинетическая энергия шатуна будет равна

E2 = 12 Iш ωш2 + 12 mшυш2 ,

где Iш , mш – момент инерции относительно центра масс и масса шатуна;

ωш – угловая скорость шатуна; υш – скорость центра масс шатуна.

Для ползуна 3, совершающего поступательное движение

E3 = 12 mпυп2 ,

где mп , υп – масса и линейная скорость ползуна.

Таким образом, кинетическая энергия кривошипно-ползунного механизма равна

3

∑Ei = 12 [Iк ωк2 + Iш ωш2 + mшυш2 +mпυп2 ]. (4.5) i=1

Из соотношений (4.3), (4.5) и (4.4), учитывая, что ωк = ωпр , следует

Iпр ωпр2 = Iк ωк2 + Iш ωш2 + mшυш2 +mпυп2

или

Отношение скоростей, входящие в (4.6), называются передаточными отношениями или геометрическими передаточными функциями скоростей или анналогами скоростей (п.2.1), (2.7, 2.8, 2.9), (2.14, 2.15). Таким образом, при-

веденный момент Iпр является периодической функцией угла поворота кривошипа

(звенаприведения) спериодом 2π, т.е. равнымодномуоборотукривошипа.

82

Если в кривошипно-ползунном механизме выбрать за звено приведения ползун, то функция mпр (x) будет иметь точки разрыва в крайних положениях ползуна (ϕ = 0; ϕ = π), когда υп = 0 . Для механизмов с прерывистым движением приведенная масса и приведенный момент инерции будут функциями, имеющими точки разрыва, а для механизмов с постоянным передаточным отношением (для зубчатых колес, фрикционных передач) будут постоянными величинами.

4.1.2. Приведение сил и моментов сил к звену приведения

Продифференцировав по времени третье выражение (4.3), получим

n

∑N j = Nпр,

j=1

k

где ∑N j – сумма мощностей всех активных сил, действующих на машинный

j=1

агрегат; Nпр – мощность приведенной силы.

Рассмотрим кривошипно-ползунный механизм (рис.1, а). Пусть заданы сила,

(4.7)

где Т , ω1 , ω2 – вращающий момент и угловые скорости кривошипа и шатуна соответственно; υ1 ; υ2 ; υп – скорости центров масс кривошипа, шатуна и ползуна.

Величина G3 υrп = 0 , так как υrп G3 . Приравняв мощности заданных сил и приведенного момента сил, после преобразований получим