3.5.Общие теоремы динамики

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северо-Западный государственный заочный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК_по_механики.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.02.2016

Размер:

1.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

где I x – момент инерции относительно центральной оси, d – расстояние от центральной оси до оси х1 .

Следствия:

1. Если T e ≡ 0 , тогда

= const . То есть если главный момент

внешних сил относительно центра

О равен нулю, то кинетический момент

3.5.1.Основное уравнение движения материальной системы

Пусть механическая система состоит из n точек, M1, M 2 ,...M n каждая из которых движется. Тогда на основании (3.1) движение системы описывается уравнениями

m	r		= F e + F k		(i =1, 2, K, n) ,	(3.16)
	w	i
i			i	i

где mi и wri – масса и ускорение; Fie и Fik – равнодействующие соответственно внешних и внутренних сил, приложенных к i - й точке.

Это основное уравнение движения материальной системы. Интегрирование уравнения (3.16) производится тогда, когда число точек (тел) невелико и требуется определить движение каждого тела системы.

При решении многих задач механики достаточно определить законы изменения некоторых суммарных мер движения системы, а именно, количества движения, кинетического момента, кинетической энергии, движения центра масс и т.д. [8].

3.5.2. Теорема о движении центра масс системы

Докажем теорему о движении центра масс, воспользовавшись уравнением (3.16). Складывая почленно левые и правые части, получим

n	r	n	r	n	r
∑mi wi = ∑Fie +∑Fik .						(3.17)
i=1		i=1		i=1

Левую часть выражения (3.17), используя (3.11), продифференцируем дважды по времени

n	r	r		n	d 2 rr			d 2 rr
∑ miri		= m r0	,	∑ mi		i	= m		O	.
					d t	2		d t	2
i=1				i=1

По определению ускорения точек

	d 2 rr	r		d	2 rr	r
	i	= w	;		O	= w .
		= w	;			= w .
	d t 2	i		d t 2		O
	d t 2			d t 2
Откуда
		n	r		r
			r		r
		∑ mi wi = m wC .
		i=1
						n	r
Подставляем это выражение в			(3.17)		и, учитывая, что ∑Fik – сумма
						i=1
внутренних сил равна нулю (по третьему закону Ньютона), получим
		r	n	r	(e) .		(3.18)
		m w	= ∑ F		(e) .		(3.18)
		C	i=1	i
			i=1

Уравнение (3.18) выражает теорему о движении центра масс. Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе системы, и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил.

Проецируя (3.18) на координатные оси OXYZ и принимая во внимание

(2.15), получим

m d

xC = m w

m d

yC = m w

= ∑ F (e) ;

d t2

i=1

i x

d t2

C y

i=1

i y

m d

zC = m w

= ∑ F (e) .

(3.19)

d t2

i=1

i z

В выражения (3.18) и(3.19) не входят внутренние силы, то есть по внешним силам можно определить движение центра масс системы. Это обстоятельство значительно облегчает решение задач, так как внутренние силы системы большей частью неизвестны

Теорема о движении центра масс отвечает на вопрос о том, в каких случаях систему материальных точек можно рассматривать как материальную точку с массой, равной массе системы материальных точек:

1)когда тело движется поступательно;

2)когда представляет интерес только поступательное движение системы вместе с его центром масс.

	Из теоремы о движении центра масс следует,							n	r	, тогда
	Из теоремы о движении центра масс следует,							что если ∑ F (e) = 0		, тогда
									i x
								i=1
r		r
r		d υ
w	=	C	= 0	и, следовательно	υ	C	= const , то	есть если	главный	вектор
w	=	d t	= 0	и, следовательно	υ		= const , то	есть если	главный	вектор
C		d t

внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то центр масс системы либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Это говорит о том, что внутренние силы не могут сами по себе изменять движение центра масс системы.

Если сумма проекций внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось остается постоянной.

3.5.3 Теорема об изменении количества движения системы

Количество движения материальной точки равно [8], [9] q = mυ .

Количеством движения Q механической системы называется геометри-

ческая сумма количеств движения всех точек:

Qr	n	n
Qr	= ∑qri = ∑mi υri ,		(3.20)
	i=1	i=1

где qri = mi υri – количество движения i -й точки. Правую часть формулы (3.20)

можно записать, используя выражение (3.11), продифференцировав которое получим

	n	r		d rr	r
	∑ m υ		= m	C	= m υ	C	,
	∑ m υ		= m		= m υ		,
	i=1	i i		d t
	i=1			d t
откуда
	r	n	r		r		(3.21)
	Q	= ∑ mi υi = m υC ,					(3.21)
		i=1
где m	r
где m	– массы всей системы; υC – скорость центра масс системы.

Количество движения системы равно произведению массы системы на скорость ее центра масс, которое определяет меру поступательного движения системы с ее центром масс.

Преобразуем выражение (3.18) к виду

r		r		d	r	d Q	n	r
		d υ							(e) .
m w	= m	C	=		m υ =		= ∑F			(3.22)
				d t		d t
C		d t			C		i=1	i

Выражение (3.22) представляет теорему об изменении количества движения системы материальных тел в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна главному вектору всех внешних сил, приложенных к системе.

Проинтегрировав (3.22) по t, получим

r r	n	t	r	n	r
Q −Q0	= ∑	∫Fie d t = ∑Sie ,				(3.23)
	i=1	0		i=1

где		Qr0 и	Q – количество движения системы в момент времени t0	и t ;
n	t	r	n r
∑	∫Fie d t = ∑Sie –импульс внешних сил за промежуток времени			( 0 ,t ).
i=1	0		i=1

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех внешних сил за этот же промежуток времени (интегральная форма теоремы об изменении количества движения).

Следствия из теоремы об изменении количества движения:

1. Если сумма внешних сил, приложенных к системе, тождественно равно нулю, то количество движения системы остается постоянным – закон

				n re			d Q
сохранения количества движения. ∑Fi					= 0	, тогда			= 0 и Q = const .
сохранения количества движения. ∑Fi					= 0	, тогда	d t		= 0 и Q = const .
			i=1				d t
n		d Qx
2. Если ∑Friex = 0	тогда	d Qx		= 0	и Qx = const .			Если сумма проекций
2. Если ∑Friex = 0	тогда	d t		= 0	и Qx = const .			Если сумма проекций
i=1		d t

внешних сил на какую-нибудь неподвижную ось тождественно равна нулю то проекция количества движения на эту ось остается постоянной [8], [9].

3.5.4Теорема об изменении кинетического момента системы

Вразделе 3.2 введены понятия о моментах силы относительно точки и оси. Момент количества движения q тела относительно центра и оси тесно

связаны с этими понятиями. Обозначим момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра O – lrO и относительно оси – lrz . Они определяются по формулам, аналогичным формулам (3.2), (3.3) и

(3.4)	r
	r	r	r	r		r	(3.24)
	lO	= r	×q	= r	×mυ ,		(3.24)
где	rr – радиус-вектор точки относительно центра O ;						m и υr – ее масса и
скорость.
	Для механической системы вводится понятие главного момента
количества движения (кинетического момента) относительно центра и оси
	r	n r			r	n r
	LO	= ∑ li O ;			Lz = ∑ li z ,		(3.25)
		i=1				i=1
где	LО и Lz – моменты количеств движения относительно точки и оси							z .
	Связь между LrО и Lrz аналогична (4.5)
	Lz	= Прz LO			= LO cosβ,		(3.26)
где	β – между осью и направлением вектора LО .
	Кинетический момент – есть мера вращательного движения. Пусть тело
вращается вокруг неподвижной			оси	z		(рис.2.4). Тогда любая точка		М ,

принадлежащая телу, движется по окружности с радиусом, равным расстоянию r точки от оси вращения. Скорость точки М равна υМ , а вектор количества

движения равен qrM = mМ υrМ				и направлен по касательной к окружности, то
есть перпендикулярно радиусу				ri =Oi M i в сторону вращения (2.23 – 2.30)
l	M z	= ±q	r = ±m	M	υ	r = ±m	M	ωr r = ±m	r 2 ω ,
			M M			M M		M M	M M

где ω – угловая скорость вращения тела вокруг оси z .

Кинетический момент тела относительно оси z равен сумме моментов количеств движения всех его точек, то есть

		n	n		n
	Lz = ∑lM z = ∑mM i hM2				i ω= ω∑mM i hM2	i = ωI z ,	(3.27)
		i=1	i=1		i=1
	n
где	∑mM i hM2	i =I z – момент инерции тела относительно оси z .
	i=1
Исходя из (3.24), правую часть (3.25) можно переписать в виде
				n
			LrO = ∑(rri ×mi υri ),				(3.28)
				i=1
где	mi и υri –	масса и скорость		i -й точки системы;		ri – радиус-вектор ее

относительно центра О, который остается неподвижным. Продифференцируем

(3.28) по времени, получим

d L

d r

d υ

= ∑

×m

υ + r

×m

= ∑

(υ ×m

υ + r

×m w

d t

i=1

d t

i=1

i i

Так как υri ×mi υri

= 0 , поскольку векторыmi υi и υi параллельны, то

d Lr

∑(ri ×mi

wi )= ∑ri

×Fie =TOe .

(3.29)

d t

i=1

Проекции уравнения (3.28), (3.29) на неподвижные координатные оси примут вид

d L	x	=Txe ;	d Ly	=Tye ;	d L	z	=Tze ,	(3.30)
d t			d t		d t

где Lx , Ly , Lz – кинетические моменты системы относительно осей x , y , z ;

Txe , Tye , Tze – главные моменты (суммы моментов) внешних сил относительно

тех же осей.

относительно этого центра О остается постоянным.

2. Если главный момент всех внешних сил относительно какой-либо оси равен нулю, то кинетический момент относительно этой же оси остается постоянным.

Дифференцируя (3.28) по времени и учитывая (3.29), получим

d ω

d 2 ϕ

I z d t

=Tz

или

;

I z

d t 2

=Tz

;

I z ε =Tz

(3.31)

I z ϕ =Tz

где

dω

= ϕ = ε- угловое ускорение.

Выражение

(3.31)

называется

дифференциальным

уравнением

вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси [8], [9].

3.6. Работа и энергия 3.6.1. Понятие о работе силы

	Работой называется мера действия силы F на конечном перемещении
S	точки М .	Элементарная работа выражается скалярным произведением
двух векторов		Fr	и d Sr
			dA = F d S = F d S cos α,	(3.32)
где	F и d S – модули силы и перемещения; α – угол между их направлениями.
	Скалярное		произведение можно выразить через	проекции

перемножаемых векторов на координатные оси

dA = Fx d x + Fy d y + Fz d z .

Работа силы тяжести тела при подъеме или опускании на высоту h равна

A = ±F h .

Знак плюс соответствует спусканию, а минус – подъему центра масс тела.

Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, по которой перемещается центр тяжести тела. Если траектория движения представляет замкнутую кривую, то работа силы тяжести обращается в нуль.

Рассмотрим работу линейной силы упругости. Пусть на материальную точку

действует сила упругости, пропорциональная	расстоянию S точки от
положения равновесия, то есть Fупр = −c S , где	c – коэффициент пропор-

циональности, называемый коэффициентом жесткости. Тогда работа в соответствии с (3.32) определяется

d A = Fr

d Sr = −c Sr

d Sr = −c 1 d (Sr2 ).

упр

Работа силы упругости на конечном перемещении равна

(Sr2 )= −

c (S 2

− S02 )=

1 c(S02 − S 2 ) .

A = ∫ dA = − 1

∫ c d

Если на свободное тело действуют

силы F1 , F2 ,K, Fi , приложенные в

точках M i , тогда сумма элементарных работ равна

n r

+ d

n r

∑ dAi = ∑ Fi d Si =

∑ Fi (d S0

ϕ×Si )

= ∑ Fi

+ ∑ Fi (d ϕ×Si ).

i=1

n r

∑ dAi

= ∑ Fi d S0 +

ϕ = F d S0

+Т0 d ϕ,

(3.33)

∑ Т0 (Fi ) d

i=1

где Fr

(Fri

) – главный

= ∑Fri

– главный вектор приложенных сил; T0

= ∑Т0

i=1

момент относительно полюса.

Сумму работ можно выразить через проекции перемножаемых векторов на координатные оси

∑ dAi = Fx d x0 + Fy d y0 + Fz d z0 +Тx d ϕx +Тy d ϕy +Тz d ϕz . (3.34)

i=1

Из формулы (3.34) видно, что поскольку главный вектор и главный момент внутренних сил в твердом теле равны нулю, то и работа этих сил на любом перемещении твердого тела равна нулю [8], [9].

3.6.2. Кинетическая энергия материальной точки и системы

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина существенно положительная мера ее движения, определяемая зависимостью [8]

E = 1		m υ2	,	(3.35)
i	2	i i
	2

где m i, υi – масса и модуль скорости точки.

Кинетической энергией механической системы называется сумма кинетических энергий всех точек. При поступательном движении твердого тела она равна

	1	n		1		n	1
E =		∑mi υi2 =			υ02	∑mi =		υ02 m ,	(3.36)
	2			2			2
		i=1				i=1
где υ0 – скорость центра масс;			m – масса твердого тела.

При вращательном движении твердого тела скорость любой точки равна

υi = ri

ω. В этом случае из (4.38)

получим

ω2

E =

∑mi ri

2 ω2 =

∑mi ri

2 =

I z ω2

(3.37)

i=1

где I z

– момент инерции тела относительно оси

z , проходящей через центр

масс кинетически энергий.

При плоском движении твердого тела кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного движения вместе с центром масс и

вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс

(теорема

Кенига) [8], [9]

E = E

+ E

mυ2

ω2 ,

(3.38)

где Eп =

mυ02

– кинетическая энергия при поступательном движении тела

вместе с центром масс; Eв = 12 I0 ω2 – кинетическая энергия при вращательном движении тела вокруг оси, проходящей через центр масс.

3.6.3. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и тела

Рассмотрим материальную точку массы m , которая движется относительно некоторой инерционной системы отсчета под действием сил F1, F2 ,K, Fn . По основному закону динамики (3.1) получим

r	n	r		dυr	n	r
mw = ∑Fi или			m		= ∑Fi		(3.39)
mw = ∑Fi или			m	d t	= ∑Fi		(3.39)
	i=1			d t	i=1

Умножив обе части выражения (3.39) скалярно на элементарное перемещение d rr, получим

	dυr	r	n	r r		d rr r		r	r
m		d r	= ∑Fi d r		= m		dυ	= mυ	dυ .
	d t					d t
			i=1

Окончательно получим

1	m d (υr2 )= ∑n	d Ai .
2
	i=1

Интегрируя обе части выражения (3.40), получим

1		υ		n			1	m(υ2	−υ2 )=	n
	m		dυ2 =		d A	;					A .
2		∫		∑∫			2
					i				0	∑ i
		υ0		i=1						i=1

(3.40)

(3.41)

Выражение(3.41) представляет теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме: изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равна сумме работ сил, приложенных к точке на этом же перемещении.

Для системы материальных точек теорема об изменении кинетической энергии примет вид

n	1		n	1		n	n
∑	1	mi υi2	−∑	1	mi υi20 =∑ Aie +∑ Aiτ
∑	2	mi υi2	−∑	2	mi υi20 =∑ Aie +∑ Aiτ
i=1	2		i=1	2		i=1	i=1
или
				n		n
		E −E0 = ∑ Aie +				∑ Aiτ ,	(3.42)
				i=1		i=1

					71
n	m υ2	n	miυi20
где E = ∑	i i	, E0 = ∑		– значение кинетических энергий системы в
где E = ∑	2	, E0 = ∑	2	– значение кинетических энергий системы в
i=1	2	i=1	2
				n	n
конце и начале		перемещения; ∑ Aie , ∑ Aiτ – сумма работ внешних и
				i=1	i=1

внутренних сил на этом же перемещении.

Изменение кинетической энергии системы на некотором ее перемещении равно сумме работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил на этом перемещении.

Дифференцируя по времени (3.42), получим

	d E	n		n		n	n
		= ∑	d	Aie +∑	d	Aiτ = ∑ Nie +∑ Niτ ,		(3.43)
	d t
		i=1 d t		i=1 d t		i=1	i=1
где Nit , Niτ - мощности внешних и внутренних сил.
Пример1. Груз весом P				поднимается посредством троса, перекинутого
через блок и намотанного на барабан радиуса R (рис. 3.4). К барабану со
стороны двигателя приложен вращающий момент							T =T0 −αω, где	T0 , α –

постоянные, характеризующие двигатель; ω – угловая скорость барабана.

Момент инерции барабана относительно точки O равен I0 . Массами блока и троса пренебрегаем, трениям на оси вращения блока можно пренебречь. Определить угловую скорость барабана и скорость груза как функции времени, если в начальный момент t = 0 система покоилась.

		R	υ
T	O	ω	υ

Рис. 3.4 P

Решение. Система состоит из двух тел: барабана и груза весом P . Применим теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме

(3.43).

Кинетическая энергия барабана и груза будут равны

E = E	б	+ E	гр	= I	0	ω2	+	mυ2	,	( )
						2		2

где Eб – кинетическая энергия барабана; Eгр – кинетическая энергия груза;

ω и υ – угловая скорость барабана и груза соответственно. Барабан совершает вращательное, а груз поступательное движения.

В силу нерастяжимости троса его скорость равна υ = ω R . Подставляя значение линейной скорости груза υ в ( ), получим

E = (I0 +mR2 )ω22 .

Внешними силами являются: сила тяжести груза и силы, создающие вращающий момент. Опоры являются неподвижными, поэтому работа и

мощность сил	тяжести равны нулю. Мощность	двигателя	равна
Nд = (T0 −αω)ω,	а мощность силы тяжести груза равна	Nгр = −Pυ .	Таким

образом

∑ Nie = (T0 −αω)ω−P υ = (T0 −αω)ω−P Rω= (T0 −αω−P R)ω.

i=1

Применяя теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме и подставив значение E и Nie , получим

d E		n		d	(I		+m R2 )	ω2	= (T −αω− P R)ω.
	=	∑	N e ;			0

d t			i				2		0
		i=1		d t

После дифференцирования по t левой части это уравнение примет вид

ω(I0 +m R2 ) ddωt = (T0 −αω−P R)ω,

откуда

						I0 +m R2
							d ω= d t .
						T −αω− P R	d ω= d t .
					0
Проинтегрировав это уравнение, получим
	∫		А	d ω= ∫d t +C , −				А	ln(B −αω)= t +C ,
	∫	В−αω		d ω= ∫d t +C , −					ln(B −αω)= t +C ,
		В−αω						α
где	B =T −P R ,		A = I	0	+m R 2
	0			0

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, то есть при t = 0 ω = 0

−

ln B =C

или −

ln(B −αω)= t −

ln B или ln

B −αω

= −

откуда

−

αt

−P R

= 1−e

+m R2

	−	−αt
	−	I0 +m R2 → 0 , поэтому угловая
	С течением времени, то есть при t →∞, e	I0 +m R2 → 0 , поэтому угловая

скорость двигателя с течением времени примет значение

ω= T0 −αP R ,

а линейная скорость груза

υ = R T0 −αP R ,

то есть груз с течением времени будет подниматься с постоянной установившейся скоростью, а угловая скорость двигателя ω= const .

Пример 2. При включенном двигателе автомашина движется равномерно по прямолинейному горизонтальному шоссе. Определить работу движущих сил мотора на перемешении S если: F1 вес колеса; G1- вес кузова; r – радиус колеса; fk -коэффициент трения качения покрышек колес о шоссе, считать, что колеса катятся без скольжения.

Рис. 3.5

Решение. Применим к решению задачи теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме (3.42)

n	n
Е2 - Е1= ∑ A(Fke ) + ∑(Fki )		(1 )
k =1	k =1
При равномерном движении кинетическая энергия постоянна, Е2		= Е1, а (1 )
примет вид
n	n
∑ A(Fke ) + ∑(Fki ) =0		( 2 )
k =1	k =1

К автомашине приложены внешние силы: 4F1- вес четырех колес; G- вес кузова; Fc- силы сопротивления воздуха; 2R1 и 2R2- нормальные реакции шоссе, приложенные к передним и задним колесам (реакции смещены относительно центров тяжести колес в сторону движения на fk ); 2Ft1 и 2Ft 2 -

силы трения покрышек задних и передних колес о шоссе (рис. 3.5).

Помимо многих взаимноуравновешивающихся внутренних сил, имеется внутренняя движущая сила мотора, работу которой Aдв требуется определить.

Из ( 2 ) следует

	n	(3 )
A =	∑ A(F e ) .	(3 )
дв	k
	k =1

При перемещении центров тяжести колеса на dS колеса повернутся на dϕ

75
dϕ =	dS
dϕ =	r .	( 4 )

Так как колеса катятся без скольжения, то мгновенные центры скоростей С1 и С2 находятся в точках касания колес о шоссе. Работа сил трения 2Ft1 и

2Ft 2 равно 0. работа сил тяжести при перемещении по горизонтальному пути также равна 0. Следовательно, из числа внешних сил, приложенных к автомобилю работу дают только смещенные реакции шоссе 2R1 и 2R2 и силы сопротивления воздуха, т.е.

−

2 fk

d A

= ∑ A(F e ) = -2R1

ϕ−

2R f

ϕ−

F dS

)

−

(5 )

дв

k =1

Учитывая, что сумма реакций равна сумме давлений, получим

G+4F1= 2R1 + 2R2 .

( 6 )

Подставляем (6) в (5) получим

Aдв = - ∫

Fc +

+ 4F1) dS = − Fc +

+ 4F1) S .

Пример 3. При движении автомобиля в гору, склон которой равен α к горизонту, к ведущему колесу весом Р и радиуса r приложен постоянный вращающий момент М. К оси С ведущего колеса приложена со стороны ведомых колес постоянная сила S. Определить закон движения центра тяжести С колеса. В начальный момент автомобиль находится в покое. Колесо катится без скольжения. Трение качения fk . Радиус инерции колеса относительно оси,

проходящей через центр тяжести перпендикулярен к плоскости движения, равен ρ.

Решение. На колесо действуют силы: Р – вес колеса, S – сила, приложенная со стороны ведомых колес; R- нормальная реакция, М- вращающий момент, Fтр- сила трения ведущего колеса о землю, ϕ- угол поворота колеса положительный при движении против часовой стрелки (рис. 3.6). Проведем координатные оси Оxy. Составим дифференциальные уравнения движения оси С в проекциях на координатные оси.

					76
		P &&	P	&&		P	2&&
		g xc = −P sin α + Fтр-S;	g	yc	= P cos α − R, g		ρ ϕ = M − Fтрr-R-fk.
Принимая во внимание, что yc			= r, yc = 0 , откуда			R = P cos α, Vc = ωr = ϕr ,
				&&			&
&&	&	&&
xc =Vc = ϕr , получим

Рис. 3.6

)

rϕ = −P sin α + FTP − S

ϕ = M = FTPr − Pfk cos α

)

Разделим (1 ) на ( 2 ) и определим FТР:

− P sin α + FTP − S

, откуда

ρ2

M − FTPr − Pfk cos α

FТР =

(3 )

M + P(sin α − fk

cos α)

+ρ

Подставляем (3 ) в (1 ), получим

ρ2

S +

M + P(sin α − fk

cos α

− P sin α − S

ϕr = xc =

2 +ρ2

ρ2

ρ r

[(M − Pfk cos α) + r(S + P sin α)].

( 4 )

P(r2 +ρ2 )

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.02.20166.24 Mб89УМК Численные, ТФКП, Дискретная изд 2.doc
#
16.02.201611.27 Mб204умк электромеханика.doc
#
16.02.20161.63 Mб50УМК Электротехника Виноградов.pdf
#
16.02.20162.17 Mб49УМК-Технология литейного производства.pdf
#
16.02.2016521.22 Кб142УМК_ВведСпец.doc
#
16.02.20161.58 Mб67УМК_по_механики.pdf
#
16.02.2016667.65 Кб18УМК_Политология 2008.doc
#
16.02.2016603.99 Кб109УМК_Статистика[1].docx
#
16.02.201630.5 Mб273УМП по изо МДК 02.04. дошк заочно.docx
#
01.03.20252.23 Mб1УП Инф обесп 15-04-10.doc
#
16.02.201610.08 Mб2075УП_ОАПТОМИ_УММ-2443.doc