Чем ближе корреляционное отношение к 1, тем ближе статистическая зависимость У от Х к однозначной функциональной и наоборот.
На практике совместное распределение У и Х как правило неизвестно и вместо их параметров используются их выборочные характеристики.
Пусть имеются n независимых наблюдений случайной двумерной величины (У,Х).
Результаты этих наблюдений (пары значений (хiyi) располагаются в таблицу.
Значения (х1…хn) фактора Х группируются в а групп, значения (у1…уn) группируются в в групп.
Подсчитываются числа mij таких наблюдений
(ху), в которых х попало в i-ую группу, а у – в j-ую.
Построим выборочный аналог коэффициента детерминации:
Выборочным аналогом D[Y] является
Sy2 ( y j y)2 mj 1 |
|
j |
n |
где
y1 y j mj n j
-общая средняя.
Выборочным аналогом условной дисперсии при х=хi является групповая выборочная дисперсия:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Si2 ( y j y(i) )2 mji n |
|
||
|
|
j |
|
i |
|
где |
|
y(i) y j mij |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||
|
|
j |
i |
||
-групповая средняя.
Выборочным аналогом D[Y,ост] является:
|
|
|
|
|
|
|
Sост2 |
|
|
1 |
|
Si2 Si2 mi |
|||||
|
|
|
i |
n |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда можно определить выборочный аналог D[Y,факт]:
Sфакт2 Sy2 Sост2
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
2 |
|
Sфакт2 |
|
|
|
|
Y | X |
|
|
|
|
|
Sy2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система СВ (Х,У) задана таблицей распределения:
Y |
-1 |
1 |
X |
|
|
-2 |
0.4 |
0 |
0 |
0.1 |
0.1 |
2 |
0 |
0.4 |
Найти коэффициент детерминации и корреляционное отношение между ними.
Составим распределение СВ У:
-2 
0 
2
0.4 0.2 0.4
Найдем характеристики этого распределения: M[Y]=0, D[Y]=3.2
Находим условные законы распределения У для при всех значениях Х.
Y | X 1 |
-2 |
0 |
2 |
|
0.8 |
0.2 |
0 |
Y | X 1 |
-2 |
0 |
2 |
|
0 |
0.2 |
0.8 |
Найдем характеристики этих условных распределений:
M[Y|X=-1]=-1.6, D[Y|X=-1]=0.64
M[Y|X=1]=1.6, D[Y|X=1]=0.64 Усредняем дисперсию условного распределения:
D[Y, ост]
D[Y | X 1] P( X 1) D[Y | X 1] P( X 1) 0.64
Следовательно
Y2 |
\ X 1 |
D[Y, ост] |
|
4 |
|
|
D[Y ] |
|
5 |
Y| X 
54 0.9