Сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из трех видов ЦБ: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 10, и рисками 2 и 4.
По условию задачи:
Эффективность безрисковых бумаг m0 2
Вектор-столбец ожидаемых эффективностей
рисковых ЦБ
4 M 10
Риск для остальных ЦБ:
1 2 |
2 4 |
Матрица ковариаций рисковых ЦБ:
|
4 |
0 |
|
V |
|
|
|
|
0 |
16 |
|
|
|
Зададим в общем виде требуемую эффективность портфеля mp.
Найдем матрицу, обратную к матрице V.
det |
|
4 |
0 |
|
64 0 |
|
|
||||
|
|
0 |
16 |
|
|
|
|
A ( 1)2 16 16 |
|
|||||||||||
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ( 1)3 0 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ( 1)3 0 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A ( 1)4 4 4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
0 |
T |
|
|
16 |
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
16 |
|
0 |
|
|
1 |
4 |
0 |
|
V |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
64 |
|
|
|
4 |
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
16 |
|
|||||
Вычислим знаменатель:
|
|
1 |
|
2 |
|
m |
I 2 |
|
|
||
|
|
||||
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
0 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
V |
1 |
(M m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
I ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
10 |
|
|
||||||
|
|
|
1 |
4 |
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
8 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2
2
|
|
|
(M m0 I)T 2 |
8 |
|
|
|
|
|
|||
(M m0 |
I) |
|
V |
|
(M m0 I) 2 |
|
1 |
2 |
|
|
||
T |
1 |
8 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
8 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Тогда вектор долей рисковых бумаг есть
X |
|
|
m 2 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
p |
|
|
|
mp 2 |
10 |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
||||
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
Тогда рисковые доли должны быть одинаковы и
составлять |
|
|
mp 2 1 |
x0 |
1 mp 2 1 |
10 |
|
5 |