Решение этой задачи обозначим x
Если xi 0 |
- то это означает рекомендацию |
||
вложить долю |
x |
капитала в ЦБ i – го вида. |
|
|
|
i |
|
Случай |
xi 0 |
рассмотрим позже. |
|
Пусть имеется два вида ЦБ. Тогда |
|||
|
2 |
|
2 |
x1 V11 2x1 x2V12 x2 V22 |
|||
|
|
x1m1 x2 m2 mp |
|
|
|
|
x1 x2 1 |
|
|
|
|
Пусть для определенности m1 m2
Из двух последних уравнений можно найти:
x1 1 x2 |
(1 x2 ) m1 x2 m2 mp |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
m1 x2 m1 x2 m2 mp |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
m1 (m1 m2 ) x2 mp |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
mp m1 |
x |
|
|
|
x |
|
|
mp m2 |
x |
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
m2 m1 |
2 |
|
|
|
|
|
m1 m2 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда видно, что если эффективность портфеля mp лежит между эффективностями ЦБ m1 и m2
m1 mp m2
то обе доли положительны:
x |
0 |
x |
0 |
1 |
|
2 |
|
Если mp m1 то |
|
|
|
x 0 |
x 0 |
||
1 |
|
2 |
|
Что это за операция?
Допустим, что инвестор, формирующий портфель, обязался через некоторое время поставить ЦБ второго вида, вместе с доходом, какой бы они принесли их владельцу за это время.
За это он сейчас получает их денежный эквивалент. На эти деньги он покупает акции первого вида и получает с них доход. Поскольку они более эффективны, то инвестор оказывается в выигрыше.
Вслучае, когда имеется более двух видов ЦБ анализ усложняется. Мера риска оптимального портфеля растет с ростом эффективности.
Пусть m0 - эффективность безрисковых бумаг; х0 – доля вложенного в них капитала;
mr – средняя ожидаемая эффективность; Vr – вариация;
σr – среднеквадратичное отклонение эффективности
рисковой части портфеля, в который вложено (1- х0) часть всего капитала.
Тогда ожидаемая эффективность портфеля составит:
mp m0 x0 (1 x0 ) mr
Если считать, что безрисковые бумаги некоррелируют с остальными, то риск составит
Vp (1 x0 )2 Vr |
p (1 x0 ) r |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
x |
|
r |
|
p |
1 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
p |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
r |
|
|
r |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, ожидаемая эффективность портфеля линейно зависит от риска.
Рассмотрим задачу об оптимальном портфеле, содержащим безрисковые бумаги.
Рисковые виды ЦБ будем нумеровать числами
|
1, 2, …n. |
|
n |
|
xi x jVij min |
|
ij |
|
x0 xi mp |
|
i |
|
x0 xi 1 |
|
i |
Пусть V – матрица ковариаций рисковых ЦБ;
Х(хi) – вектор-столбец долей капитала, вкладываемого в i-ый вид ЦБ;
M(mi) – вектор-столбец ожидаемых эффективностей i-ого вид ЦБ;
I – n – мерный вектор-столбец, компоненты которого равны 1.
Тогда оптимальное значение долей составит
|
X |
|
mp m0 |
V 1 (M m I) |
|
|
(M m I )T V 1 (M m I) |
||||||
|
|
0 |
|
|||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Где V-1 – матрица, обратная к матрице V.
Вчислителе формулы – число.
Взнаменателе – тоже число, не зависящее от инвестора и определяющееся только рынком.
V 1 (M m0 I) - вектор-столбец размерности n.
Он не зависит от эффективности портфеля mp,
поэтому вектор долей рисковых ЦБ Х*, пропорциональный этому вектору, тоже не зависит от mp.
Сумма компонент Х* зависит от эффективности mp,
поэтому с ростом эффективности портфеля компонента вектора будет расти и доля х0
безрисковых ценных бумаг будет уменьшаться.