IvanovMaksyuta

оскільки функція дії S (q,t) входить у рівняння Гамільтона–

Якобі тільки через свої частинні похідні, одна із довільних сталих входить у повний інтеграл адитивним чином, тобто повний інтеграл рівняння Гамільтона–Якобі має вигляд

S = f (q1,..., qs ;α1,..., αs ;t) + A , де α1,..., αs і A – довільні сталі. З'ясуємо тепер зв'язок між повним інтегралом рівняння Гамі- льтона–Якобі та розв'язком рівнянь руху. Для цього виконаємо канонічне перетворення від змінних q, p до нових змінних: но-

координат q через час і 2s сталих α,β . Тим самим ми знахо-

димо загальний розв'язок рівняння руху.

Таким чином, розв'язок задачі про рух механічної системи за методом Гамільтона–Якобі зводиться до таких операцій. За функцією Гамільтона складаємо рівняння Гамільтона–Якобі і знаходимо повний інтеграл цього рівняння. Диференціюючи його за довільними сталими α , а далі прирівнюючи до нових сталих β, одержуємо систему s алгебраїчних рівнянь

∂S =βi , ∂αi

181

розв'язуючи яку, знаходимо координати q як функції часу та 2s довільних сталих. Залежність імпульсів від часу далі можна знайти з рівнянь pi = ∂S∂qi .

Якщо функція H не залежить явно від часу, рівняння Гаміль- тона–Якобі набуває вигляду

S (qi , αi ,t) =W (qi ,αi ) −α1t . Підставляючи цей вираз у попереднє рівняння, одержуємо

що являє собою диференціальне рівняння, у яке вже не входить час. Отже, одна із констант, яка входить у S , дорівнює постійному значенню гамільтоніана H (тобто α1 = E ). Функція W

відома як характеристична функція Гамільтона.

За деяких умов змінні рівняння Гамільтона–Якобі можна відокремити, і тоді розв'язок задачі вдається звести до квадратур. У цьому випадку метод Гамільтона–Якобі стає корисним на практиці. Часткове відокремлення змінних уже застосовувалось у випадку, коли функція H не залежала явно від часу.

Вважатимемо, що деяка координата q1 і відповідна їй похідна ∂S∂q1 входять у рівняння Гамільтона–Якобі тільки у вигляді деякої комбінації ϕ(q1,∂S∂q1 ) , тобто рівняння має вигляд

де через q j позначена сукупність усіх координат за винятком q1 . Шукаємо розв'язок у цьому випадку у вигляді суми

S = S′(q j ,t) + S1 (q1 ) .

182

Підставляючи цей вираз у попереднє співвідношення, маємо

Якщодопустити, щорозв'язок S = S′(q j ,t) + S1 (q1 ) ужезнайдений,

то після підстановки його в цю рівність вона має перетворитись на тотожність, яка буде справедливою за довільного значення q1 . Од-

нак при зміні q1 може змінюватися тільки функція ϕ(q1,∂S∂q1 ) . Тому ця тотожність вимагає, щоб і функція ϕ була постійною. Отже, останнєрівняннярозпадаєтьсянадватакихрівняння:

де α1 – довільна стала. Перше з них є звичайним диференціальним рівнянням, із якого функція S1 (q1 ) може бути визначена

простим інтегруванням. Після цього залишається диференціальне рівняння у частинних похідних (інше рівняння), але з меншою кількістю незалежних змінних.

При повному відокремленні шуканий інтеграл рівняння Га- мільтона–Якобі має вигляд

S = ∑Sk (qk , α1,..., αs ) − Et ,

k

де кожна із функцій Sk залежить лише від однієї координати, а енергія E як функція довільних сталих α1,..., αs може бути

Частинним випадком відокремлення є випадок циклічної змінної. Оскільки циклічна координата q1 зовсім не входить у

рівняння Гамільтона–Якобі, функція ϕ(q1,∂S∂q1 ) зводиться до ∂S∂q1 і отже, маємо S1 = α1q1 , тому

183

S = S′(q j ,t) + α1q1 ,

де постійна α1 у цьому випадку є не що інше, як постійне значення імпульсу p1 = ∂S∂q1 . Зазначимо, що відокремлення часу

у вигляді члена −Et для консервативної системи також відповідає методу відокремлення змінних для "циклічної змінної" t .

Таким чином, усі випадки спрощення інтегрування рівнянь руху, що розглядалися раніше і ґрунтувалися на використанні циклічних змінних, охоплюються методом відокремлення змінних у рівнянні Гамільтона–Якобі. Окрім того, до них приєднується ще ряд випадків, коли відокремлення змінних можливе, але координати нециклічні. Це призводить до того, що метод Гамільтона–Якобі є найбільш потужним методом аналізу механічних систем.

§ 3. Інтегральні інваріанти Пуанкаре. Теорема Ліувілля

Розглянемо фазовий простір, під яким розумітимемо 2s - вимірний декартовий простір з координатами q1,..., qs , p1,..., ps .

Тоді кожному стану даної механічної системи буде відповідати цілком визначена точка цього простору. У процесі руху системи її фазова зображувальна точка описує у фазовому просторі відповідну лінію, яку називають фазовою траєкторією. Добуток диференціалів d Γ = dq1 ... dqsdp1 ... dps можна розглядати як

"елемент об'єму" фазового простору.

Поняття фазового простору дозволяє сформулювати цікаві загальні властивості механічного руху в термінах геометричних перетворень цього простору. Зупинимось спочатку на фазовому просторі, який відповідає системі з одним ступенем вільності,

тобто фазову площину ( p, q) . Розглянемо деяку область цього простору, і покажемо, що інтеграл ∫dpdq , узятий по цій облас-

ті, дорівнює її площі. Покажемо також, що ця площа не змінюється за довільного канонічного перетворення, що є частинним (за s =1 ) випадком теореми Ліувілля (далі розглянемо загальний випадок для довільного s ).

184

Нехай P = P ( p, q,t) , Q = Q ( p, q,t) є канонічним перетворенням, що переводить область S на площині ( p, q) у відповідну їй область S′ на площині ( P,Q) . Правило перетворення інтег-

ралів при заміні змінних таке:

D(P,Q) ∫∫S′dPdQ = ∫∫S dpdq D( p, q) ,

де D (P,Q)D ( p, q) – якобіан переходу. Легко переконатися, що в явному вигляді якобіан переходу дорівнює дужці Пуассона {P,Q}p,q , яка, у свою чергу, дорівнює одиниці для довільного

канонічного перетворення, що і доводить зроблене припущення

∫∫S′dPdQ = ∫∫S dpdq .

Перейдемо тепер до дослідження більш загальних систем із s >1. У цьому випадку справедливий цілий ряд тверджень щодо інваріантності інтегралів у двовимірних, чотиривимірних і т. д. підпросторах повного фазового простору. Почнемо з доведення теореми Пуанкаре, яка стверджує, що подвійний інтеграл

J1 = ∫∫S ∑i dpidqi

буде інваріантним щодо довільного канонічного перетворення. Символ S у цьому випадку означає довільну двовимірну поверхню у фазовому просторі.

Положення точки на двовимірній поверхні можна задавати двома будь-якими параметрами u і v . Тоді матимемо

185

Тому рівність ∫∫S ∑i dqidpi = ∫∫S ∑k dQk dPk , яка виражає інваріант-

ність інтеграла J1 щодо канонічних перетворень, можна записати у вигляді

Оскільки область інтегрування довільна, ці інтеграли можуть бути рівними лише за умови виконання рівності

диться до доведення інваріантності суми якобіанів. Розглянемо канонічне перетворення, яке можна одержати за

допомогою твірної функції типу F2 (q, P,t ) (ця вимога не обо-

в'язкова, оскільки доведення можна провести і для іншої твірної функції). У цьому випадку матимемо

Аналогічний вираз можна отримати для частинної похідної ∂pi ∂v . Підставляючи тепер їх у суму детермінантів, які містяться в лівій частині останнього співвідношення, знаходимо

186

Перша сума у цьому виразі дорівнює нулю, оскільки при перестановці місцями індексів i, k одержуємо

у той час як сума не повинна залежати від порядку написання індексів i, k . Замість цієї нульової суми можна поставити будь-

яку іншу, яка має таку саму структуру, і тому також дорівнює нулю. Наприклад, можна написати

що й доводить теорему Пуанкаре.

Аналогічним чином можна довести, що й інтеграл

J2 = ∫∫∫∫S ∑dqidpidqk dpk

i,k

також є інваріантом щодо канонічних перетворень ( S – довільна чотиривимірна поверхня фазового простору). Продовжуючи так і далі, отримуємо ряд інтегральних інваріантів Пуанкаре, останній з яких має вигляд

187

Js = ∫...∫dq1...dqsdp1...dps .

У цьому інваріанті інтегрування здійснюється за довільною областю фазового простору, і тому інваріантність інтеграла Js

еквівалентна твердженню, що об'єм будь-якої частини фазового простору не змінюється при канонічних перетвореннях.

Оскільки сам рух механічної системи є канонічним перетворенням, то фазовий об'єм, який відповідає їй у фазовому просторі, залишається із часом незмінним, тобто

∫ d Γ = Γ = const .

Це твердження виражає зміст теореми Ліувілля, тобто з часом об'єм набуває тільки іншої форми (рис. 1).

q(t1 ), p(t1 )

q

Рис. 1. Рух елементу фазового об'єму у фазовому просторі

Слід зауважити, що теорема Ліувілля є основною теоремою статистичної механіки. За допомогою цієї теореми можна вивести рівняння для густини D = dNd Γ множини точок у фазово-

му просторі, яким відповідає ансамбль однакових механічних систем. Фазовий об'єм dΓ на основі теореми Ліувілля залишається з часом незмінним. Незмінним з часом залишається і кількість dN зображувальних точок усередині цього об'єму. Дійсно, якщо б яка-небудь із точок проникла через поверхню цього об'- єму, то вона зайняла б те положення, яке в цей момент має яканебудь зображувальна точка на поверхні. Оскільки рух кожної зображувальної точки однозначний щодо її положення у фазовому просторі та часі, то дві вказані точки вийшли б з об'єму разом. Отже, жодна із зображувальних точок усередині цього

188

об'єму не може його покинути. І навпаки, зовнішні зображувальні точки не можуть потрапити в цей об'єм.

Таким чином, густина D (q, p,t) також має бути незмінною в часі, що можна записати у вигляді рівності

dDdt = ∂∂Dt +{H , D} = 0 .

Це є рівнянням для густини множини зображувальних точок, які лежать в околі точки, що зображує дану механічну систему ансамблю.

Контрольні запитання та завдання

1.Вираз для твірної функції руху.

2.Рівняння Гамільтона–Якобі.

3.Відокремлення змінних у методі Гамільтона–Якобі.

4.Інтегральні інваріанти Пуанкаре.

5.Суть теореми Ліувілля.

Лекція 18. Гамільтонові інтегровані системи. Змінні "дія–кут"

§ 1. Адіабатичні інваріанти

Розглянемо систему, що здійснює одновимірний фінітний рух і характеризується деяким параметром λ , який визначає властивості самої системи або зовнішнього поля, у якому вона розташована. Припустимо, що параметр λ під дією зовнішніх чинників повільно (адіабатично) змінюється з часом. Під повільною зміною розумітимемо таку зміну, за якої λ мало змінюється за період руху системи T :

T ddtλ ελ,

де ε 1 – малий параметр. За постійного параметра λ система була б замкненою й здійснювала б строго періодичний рух з постійною енергією E і періодом T (E). За змінного параметра λ

система не буде замкненою, тобто її енергія не зберігатиметься.

189

Оскільки λ змінюється повільно, то швидкість E також мала (можна очікувати, що E ~ εE ). Якщо усереднимо E за періодом

T , то її швидкість буде пропорційною λ (згладжуються "швидкі" коливання). E є функцією λ . Залежність E від λ можна представляти у вигляді постійності деякої комбінації E і λ . Таку величину, що залишається постійною в процесі руху системи, у якій повільно змінюються параметри, називають

адіабатичним інваріантом.

Нехай H (q, p,λ) – функція Гамільтона системи, що залежить від параметра λ . Тоді швидкість зміни енергії системи

dEdt = ∂∂Ht = ∂∂Hλ ddtλ ≡ ∂∂Hλ λ .

Права частина цієї формули залежить не тільки від адіабатичного параметра λ , але й від змінних q і p , які швидко змінюються.

Для виділення систематичного ходу зміни енергії потрібно усереднити цю рівність за періодом руху. При цьому виносимо за знак

усереднення величину λ , оскільки λ змінюється повільно: dEdt = λ∂∂λH ,

а у функції ∂H∂λ припускаємо, що змінюються лише q і p , а не λ . Записуємо усереднення в явному вигляді

∂∂λH = T1 ∫0T ∂∂λH dt .

Згідно з рівнянням Гамільтона q = ∂H∂p маємо таке співвідношення:

Задопомогоюцієїрівності замінюємо інтегрування зачасомнаінтегруваннязакоординатою. Теперперіод T запишемоувигляді

T = ∫0T dt = v∫ ∂Hdq∂p .

190