IvanovMaksyuta

І, нарешті, застосовуючи до цього ж співвідношення подвійне перетворення Лежандра, приходимо до рівності

=−∑qi dpi + ∑Qi dPi + (H ′− H )dt,

ii

ють кожну з величин P,Q як із координатами q , так і з імпульсами p , то змінні Q уже не мають значення суто просторових

координат. Відмінність між обома групами змінних стає в основному питанням номенклатурним, тобто ми самі називаємо їх. Наприклад, у канонічному перетворенні Qi = pi , Pi = −qi , якому

відповідає твірна функція F1 = ∑qiQi , відбувається переймену-

i

вання координат та імпульсів.

Розглянемо ще два простих приклади канонічних перетворень. Нехай твірна функція має вигляд F2 = ∑qi Pi . Така функція

Інший приклад, який важливий у подальшому при переході до змінних "дія–кут", пов'язаний із твірною функцією

F1 = m2 ωq2 ctg Q , де константи m і ω позначають масу та влас-

ну частоту лінійного гармонічного осцилятора. Тоді старі та нові імпульси набувають вигляду

171

Користуючись цими співвідношеннями, виражаємо старі змінні через нові, а саме:

Підставляючи далі ці вирази в гамільтоніан гармонічного осци-

лятора H = p2 + mω2 q2 , одержуємо його в нових змінних: 2m 2

H = ωP cos2 Q + ωPsin2 Q = ωP .

Бачимо, що цей гамільтоніан циклічний щодо Q , і тому новий імпульс P має бути величиною сталою. Очевидно, що він дорівнює повній енергії, поділеній на ω: P = Eω. Після цього з рів-

няння Q = ∂H∂P = ω знаходимо Q = ωt + α , де α – стала інтег-

рування, яка визначається початковими умовами.

Таким чином, у зв'язку з умовністю термінології узагальнених координат та узагальнених імпульсів у гамільтоновому методі їх називають спряженими величинами. Умову канонічної спряженості можна виразити за допомогою т. зв. дужок Пуассона. Вони, як і рівняння Гамільтона, інваріантні щодо канонічних перетворень.

Підставляючи сюди замість qk і pk їх вирази із рівнянь Гамільтона, одержуємо

dfdt = ∂∂ft +{H , f },

де введено позначення

172

Цей вираз називається дужкою Пуассона для величин H і f . Те, що f є інтегралом руху, можна записати у вигляді

∂∂ft +{H , f } = 0 .

Якщо ж інтеграл не залежить явно від часу, то {H , f } = 0 , тобто

дужка Пуассона із функцією Гамільтона має перетворюватись на нуль. Для довільної пари величин f і g дужка Пуассона ви-

значається аналогічно

Звідси випливають такі властивості дужок Пуассона: 1) { f , g} = −{g, f } ;

2) { f ,c} = 0 ;

3) { f1 + f2 , g} ={ f1, g} +{ f2 , g} ; 4) { f1 f2 , g} = f1 { f2 , g} + f2 { f1, g};

де c = const . Якщо, наприклад, функція g збігається з однією з

одну важливу властивість дужок Пуассона: між дужками Пуассона, складеними із трьох функцій, існує співвідношення

{ f ,{g, h}} +{g,{h, f }} +{h,{ f , g}} = 0 ,

яке називається тотожністю Якобі.

173

Покажемо тепер, що дужка Пуассона інваріантна щодо канонічних перетворень, тобто { f , g} p,q ={ f , g}P,Q . Розглядаючи pk

Дужки Пуассона в цьому виразі обчислюємо за допомогою цього самого виразу. Дійсно, замінивши спочатку в цьому виразі f

на Q j , а g на f , одержуємо

174

них перетворень. Використовуючи цю властивість, можемо отримати такі рівності:

{Qi ,Qk } p,q = 0, {Pi , Pk } p,q = 0, {Pi ,Qk } p,q = δik .

Цим співвідношенням мають задовольняти нові змінні Q, P , щоб

{ f , g} = const .

Теорема Пуассона інколи дозволяє знайти інтеграли руху системи. Розглянемо нетривіальний приклад, пов'язаний зі збереженням моменту імпульсу деякої механічної системи. Можна показати, що для декартових компонентів моменту справедливі

тотожності {Mi , M j } = −εijk Mk , де індекси i, j,k = 1,2,3 позначають проекції на ортогональні осі. Із теореми Пуассона випливає: якщо M1 = const і M2 = const , то і M3 = const . Отже, якщо

175

зберігаються проекції моменту імпульсу на дві які-небудь осі, то зберігається й повний момент імпульсу.

Можна запропонувати ще один корисний приклад. Як було зазначено в лекції 9, для ізотропного двовимірного осцилятора існують два незалежних інтеграли руху – E1 і E2 , а також додат-

ковий інтеграл руху – момент імпульсу M = px y − py x . Запи-

переконуємось, що дужка Пуассона {M , E1} відмінна від нуля й дорівнює {M , E1} = mω02 xy + px py m , тобто величина xy + ω02 xy

також є інтегралом руху. Це пояснює збереження величини tg α , отриманої в лекції 9. Однак можливість одержання нових

нетривіальних інтегралів руху за допомогою теореми Пуассона радше виняток, ніж правило.

На завершення зауважимо, що в усіх міркуваннях час розглядався як інваріантний параметр, що не перетворювався разом з координатами та імпульсами.

Контрольні запитання та завдання

1.Вираз для функції Гамільтона.

2.Від яких змінних залежить функція Гамільтона?

3.Рівняння Гамільтона.

4.Вираз для повної похідної за часом від деякої функції координат, імпульсів і часу.

5.Властивості дужок Пуассона.

Лекція 17. Метод Гамільтона–Якобі. Теорема Ліувілля

§ 1. Дія як функція координат. Рух як канонічне перетворення

При формулюванні принципу найменшої дії ми розглядали інтеграл

S = ∫tt12 Ldt ,

176

варіацію якого у випадку одного ступеня вільності можна записувати у вигляді

Маючи задані t1 і t2 за умов δS = 0 і δq(t1 ) = δq(q2 ) = 0 , були

Розглянемо тепер поняття дії S у дещо іншому аспекті. Вважатимемо інтеграл дії для дійсних траєкторій як функцію значень координат у верхній межі інтегрування. Тоді вираз для δS являє собою зміну дії при переході від однієї траєкторії до близької до неї іншої траєкторії. Оскільки траєкторії дійсного руху задовольняють рівняння Лагранжа, то другий доданок у виразі для δS зникає, а перший член переписується у вигляді pδq ,

оскільки δq(t1 ) = 0 , а δq(t2 ) = δq(t) ≡ δq , p = ∂L∂q . У загальному випадку s ступенів вільності аналогічно маємо

s

δS = ∑ pi δqi .

i=1

Звідси випливає, що частинні похідні функції дії за узагальненими координатами відповідно дорівнюютьузагальненим імпульсам

pi = ∂∂S . qi

Розглянемо тепер, що відбувається з інтегралом дії, якщо змінюється час у кінцевій точці (тобто розглядаються траєкторії, які починаються в заданий момент часу t1 із заданого положен-

ня q1 , а закінчуються в заданому положенні q2 , але в довільний момент часу t2 ≡ t ). Для визначення явної залежності від часу функції дії S (q,t) , по-перше, зазначимо, що її повна похідна за часом уздовж траєкторії руху дорівнює

dSdt = L .

177

По-друге, розглядаючи дію як функцію координат і часу з використанням формули pi = ∂S∂qi , одержуємо

повний диференціал дії записати у вигляді

dS = ∑ pi dqi − Hdt ,

i

тобто дія є функцією координат і часу щодо верхньої межі інтегрування.

Якщо допустити, що змінюються координата та час не тільки в кінці руху, але й на його початку, то відповідну зміну S будемо задавати такою різницею:

dS = ∑ pi(2)dqi(2) − H (2)dt(2) − ∑ pi(1)dqi(1) + H (1)dt(1) .

Це співвідношення показує, що за довільного зовнішнього впливу на систему під час руху її кінцевий стан не може бути довільною функцією початкового стану, а можливі лише такі рухи, за яких вираз у правій частині цього виразу є повним диференціалом.

Останнє співвідношення можна трактувати й з іншого боку. Можна стверджувати, що зміна величин p, q у процесі руху є

канонічним перетворенням. Дійсно, нехай q(1) , p(1) – значення канонічних змінних у момент часу t(1) ≡ t , а q(2) , p(2) – їх зна-

чення в момент часу t(2) = t + τ . Останні є деякими функціями щодо перших (і щодо величини τ як параметра):

q(2) = q(2) (q(1) , p(1) ,t, τ), p(2) = p(2) (q(1) , p(1) ,t, τ) .

178

Якщо розглядати ці формули як перетворення від змінних q(1) , p(1) до змінних q(2) , p(2) , то це перетворення буде канонічним із твірною функцією −S типу F1 (q,Q,t) .

Виконаємо тепер щодо диференціала dS таке перетворення Лежандра:

Далі, замінюючи змінні qi(2) , pi(2) на значення координат та імпульсів qi (t), pi (t) у момент часу t , а канонічно пов'язані з ни-

ми змінні qi(1) , pi(1) на початкові значення цих координат та імпульсів, а саме, qi (0) = qi0 і pi (0) = pi0 (при цьому H (2) замі-

нимо на H , а H (1) на H ′), прийдемо до цікавого погляду на механічний рух. У цьому випадку розв'язок qi (t), pi (t) механічної задачі, записаний у неявному вигляді

qi0 = qi0 (qi (t), pi (t),t), pi0 = pi0 (qi (t), pi (t),t) ,

можна трактувати як деяке канонічне перетворення від старих змінних qi (t), pi (t) (залежних від часу) до нових величин

S (qi ,t) + ∑ pi (0) qi (0) є твірною функцією такого перетворен-

i

ня (питання про те, як найбільш вдало ввести у функцію дії залежність від "нових" імпульсів, постійних величин pi (0) , ми

розглянемо нижче). Адже зворотний рух системи, тобто перехід від динамічних змінних у момент часу t до їх початкових значень також можна розглядати як канонічне перетворення, але тепер із твірною функцією типу F2 (q, P,t) . При цьому з ураху-

ванням співвідношення ∂S∂t = −H нова функція Гамільтона H ′ = H +∂F2 ∂t = H +∂S ∂t тотожно дорівнює нулю. Цей ре-

179

зультат є фундаментальним для більш глибокого розуміння основ класичної механіки, але цим його роль не вичерпується. Як ми покажемо в наступному параграфі, це дозволяє побудувати дуже сильний метод аналізу динамічних систем. При цьому важливу роль відіграє той факт, що можна знайти функцію дії на основі специфічного рівняння в частинних похідних. Це рівняння називається рівнянням Гамільтона–Якобі, до розгляду якого ми й переходимо.

§ 2. Рівняння Гамільтона–Якобі

Як було показано, частинна похідна від функції S (q,t) пов'язана із функцією Гамільтона співвідношенням

яке має задовольняти функція S (q,t) . Це є рівнянням у частин-

них похідних першого порядку. Воно називається рівнянням Гамільтона–Якобі. Поряд з рівняннями Лагранжа і рівняннями Гамільтона рівняння Гамільтона–Якобі також є основою деякого загального методу інтегрування рівнянь руху.

У загальній теорії диференціальних рівнянь встановлено, що диференціальне рівняння в частинних похідних першого порядку має розв'язок, який залежить від довільної функції. Такий розв'язок називається загальним інтегралом рівняння. Проте ос-

новну роль у класичній механіці відіграє не загальний інтеграл, а повний інтеграл. Так називається розв'язок диференціального рівняння в частинних похідних, який містить стільки незалежних довільних сталих, скільки існує незалежних змінних. У рівнянні Гамільтона–Якобі незалежними змінними є час і координати. Тому для системи із s ступенями вільності в повний інтеграл цього рівняння входять s + 1 довільних сталих. При цьому,

180