VII. Взаємний перетин поверхонь. Основні відомості по темі.
Поверхні будівельних деталей, інженерних конструкцій, будівель, деталей машин та механізмів уявляють собою поєднання різних геометричних поверхонь - призм, циліндрів, конусів та інших, які перетинаються між собою. Лінію, спільну для двох поверхонь, що перетинаються, називають лінією перетину (лінією переходу).
Для її знаходження визначають проекції точок, спільних для поверхонь, що розглядаються. Сполучаючи декілька таких точок, отримують шукану лінію взаємного перетину.
При взаємному перетині багатогранників можливі два випадки:
один з багатогранників перебуває у проекціювальному положенні, при цьому одна проекція лінії перетину вже є, а другу проекцію залишається знайти;
треба визначити обидві проекції. У цьому випадку можна застосувати спосіб допоміжних січних площин, або допоміжне проекціювання. Ламана лінія перетину двох багатогранних поверхонь може складатися з однієї замкненої вітки ("урізування") чи з двох замкнених віток ("проникнення").
Лінію перетину багатогранників можна знаходити різними способами:
по точкам перетину ребер першої поверхні з другою і точкам перетину ребер другої поверхні з першою;
по лініям перетину граней першої поверхні з другою поверхнею і лініям перетину граней другої поверхні з першою.
При перетині двох кривих поверхонь можливі чотири випадки взаємного перетину:
наскрізне проникнення, коли лінія перетину розпадається на дві - лінію входу та виходу (див. рис. 7.1,а);
урізання, коли є тільки одна лінія взаємного перетину (див. рис. 7.1,6);
однобічне внутрішнє стикання, коли крива сама себе перетинає в точці дотику (див. рис. 7.1,в);
подвійне стикання, або розпад кривої четвертого алгебраїчного порядку на дві плоскі криві (див. рис. 7.1,г).
Взаємний перетин поверхонь.
Перетин двох призм, коли одна з них перебуває в проекціювальному положенні, зображено на рис. 7.2.
Із фронтальної проекції видно, що бічна поверхня призми Ф1 займає фронтально проекціювальне положення, а лінія перетину буде складатися з двох віток (входу та виходу). Призма Ф2 перетинається з гранню а(сі || є) по трикутнику 123 (фронтальна проекція якого Ь2г32), горизонтальну проекцію
якого знаходять з умови інцидентності (відповідності). Лінія входу є просторовим п'ятикутником 456874, який належить граням Р(е || к) і у(к||сі). При цьому точки 6 та 7 (входу та виходу ребра к) визначають, застосувавши фронтально проекціювальну січну площину 0, яка паралельна ребрам призми Ф2.
Точки ж 5, 8 і 4 знаходять, як і попередні, по лініям зв'язку. При сполученні гочок просторовою лінією слід пам'ятати, що видимим на відповідній проекції Зуде той відрізок, який належить видимій грані.
Тому на горизонтальній проекції відрізки 4-7-8-6-5 не будуть видимими, відрізок 1-2 трикутника 123 також буде невидимим, так як грань (3(е || к) закриває дві інші грані у (к || сі) і а(с11| є) призми Ф1 .
На рис. 7.3 зображено, перетин трикутних піраміди Ф1 та призми Ф2 (остання перебуває в проекціювальному положенні перпендикулярно до Пі).
Точніше, призма зверху примикає до піраміди. Горизонтальна, проекція шуканої лінії перетину вже є (співпадає з горизонтальною проекцією призми ). Фронтальна ж проекція лінії перетину знаходиться за допомогою самих простих ліній, які належать піраміді 5АВС. Наприклад, точки перетину ребер призми з пірамідою визначають за допомогою трикутників, горизонтальні проекції яких 112і31 та 8і9]10і. Знайшовши їх фронтальні проекції, отримують точки 4, 5, 7. Точки 2 та 6 - це результат перетину ребра 5В піраміди з гранями а (є Ц к) та р (к Ц і) призми.
Знайшовши горизонтальні та фронтальні проекції точок 4,2,5,7,6, отримують шукану лінію перетину (примикання) призми і піраміди.
На рис. 7.4 зображена побудова лінії перетину прямого кругового циліндра, бічна поверхня якого займає фронтально проекціювальне положення, та прямого кругового конуса, вісь якого перпендикулярна до П].
З рисунка видно, що фронтальна проекція шуканої лінії перетину вже є, це частина дуги кола, в яке спроекціювалася бічна поверхня циліндра. Залишилось знайти горизонтальну проекцію лінії перетину. Для цього необхідно використати декілька допоміжних січних площин р, які будуть одночасно перетинати обидві поверхні (конус - по паралелям, циліндр -по твірним).Так, наприклад, в результаті застосування площини р(р2), паралельної до Пі, отримують точки 2 і 3. Це результат перетину найнижчої твірної циліндра з відповідним колом, по якому Р(Рг) перетинає конус.
Крім точок 1 і 10, які знаходять без допоміжних січних площин, як результат перетину обрисів двох поверхонь, точки 4, 5, 6, 7, 8, 9 також знаходять за допомогою трьох січних площин (р1, р2, Р 3).
З'єднавши з урахуванням видимості знайдені точки (1,2,3,4,5,6,8, 10, 9, 7, 5, З, 1), отримують шукану лінію перетину циліндра та конуса.
Приклад перетину кривої поверхні з багатогранною (напівсфери з призмою) наведено на рис. 7.5.
В даному випадку виконання задачі зводиться до того, що, по-перше, необхідно знайти точки перетину ребер призми з поверхнею напівсфери. Для цього через ребра проводять допоміжні січні площини ст Ц Пг, які будуть одночасно перетинати криву поверхню по дугам. В результаті Отримують точки 4, 6, 1 як результат перетину відповідних напівкіл (дивись на Пг) з ребрами (на горизонтальній проекції напівкола в вигляді прямих). По-друге, необхідно провести ще декілька січних площин (в даному випадку дві), одна з яких (су1) буде перетинати напівсферу по головному меридіану, а грані призми по прямим, які паралельні ребрам. Спочатку на П2 отримують фронтальні проекції точок перетину головного меридіану з призмою (5г і Зг). Горизонтальні
На рис. 7.6 представлено подібний варіант, коли призма займає горизонтально проекціювальне положення. В даному випадку одна проекція (горизонтальна) шуканої лінії перетину вже є. Вона має вигляд трикутника.
Знаходження фронтальної проекції лінії перетину зводиться до знаходження точок, що лежать на відповідних паралелях (в даному випадку на напівколах).
