4. Визначити видимість прямої а по відношенню до площини а.

Взаємна перпендикулярність прямої та площини.

Із стереометрії відомо, що пряма перпендикулярна площині, якщо вона

перпендикулярна двом прямим, які перетинаються цієї площини.

Якщо ж пряма перпендикулярна площині, то вона перпендикулярна будь-яким прямим площини які перетинаються. Це означає, що в якості таких прямих можна взяти горизонталь та фронталь площини.

Взявши до уваги проекцію прямого кута (окремий випадок) можна

сформулювати умову перпендикулярності прямої (а) і площини (α).

Пряма а_┴α, якщо горизонтальна проекція прямої (а₁) перпендикулярна до

горизонтальної проекції горизонталі (h₁), а фронтальна проекція прямої (а₂)

перпендикулярна до фронтальної проекції фронталі (f₂).

а_┴α, якщо а_1┴h₁; а_2┴f ₂.

Якщо ж площина α перпендикулярна до прямої (а), то горизонтальні проекції горизонталей площини (h₁) перпендикулярні до горизонтальної проекції прямої (а₁), а фронтальні проекції фронталей площини (f₂) перпендикулярні до фронтальної проекції прямої (а₂).

α _┴a, якщо h_1┴а₁; f_2┴а₂;

Приклад (рис. 3.15.)

Провести пряму а_┴β (m∩n)

Взаємна перпендикулярність двох прямих.

В загальному випадку, для того, щоб провести пряму, перпендикулярну до даної прямої, необхідно провести площину, перпендикулярну до даної прямої, і в цій площині побудувати будь яку пряму. .«^

Приклад. Визначити натуральну величину Л& \

відстані від точки А до прямої b. (рис. 3.16.)

Рішення

1. Аα (h∩f) _┴b А₁h_1┴b₁; А₁f_1┴ - в.л.зв. А₂f_2┴b₂; А₂h_2┴ -і в.л.зв.

2. bδ_┴ П₂; b₂≡δ₂ (1;2)m=δ∩α

3. - К =b∩m АК_┴b

A₁'K₁';-|AK|

Як видно з записаного алгоритму спочатку через т. А проводиться площина α (яка задана фронталлю та горизонталлю) перпендикулярно до прямої b (пункт 1).

Потім через пряму b проводиться допоміжна січна площина δ перпендикулярна до П₂

В результаті δ перетинає α по прямій m. Остання перетинається з прямою в точці К. З'єднавши проекції точок А і К прямими одержують проекції перпендикуляру, опущеного з т. А до прямої b . Натуральну величину АК→|АК| знаходять способом прямокутного трикутника.

Взаємно перпендикулярні площини.

Для того, щоб провести площину β перпендикулярно площині а необхідно:

1. Провести пряму b перпендикулярно до α;

2. Через b провести будь-яку (наприклад β) площину.

Умова перпендикулярності двох площин така: якщо площина β проходить через перпендикуляр до площини а (чи паралельна даному перпендикуляру), то вона перпендикулярна даній площині.

На рис. 3.17. зображена побудова площини, перпендикулярної до площини а, яка задана слідами.

IV. Перетворення комплексного креслення.

Мета перетворення: Надання фігурам загального положення окремого положення для проведення метричних операцій ( визначити розмір фігури, відстань між прямими. ..)

В процесі перетворення геометричної моделі залишається незмінною система точок-оригиналів.

Методи перетворення:

1. Метод переміщення (в даному випадку площини проекцій нерухомі, а фігура (система точок) змінює своє положення). До цього методу відноситься:

• спосіб обертання;

• спосіб плоско » паралельного переміщення.

2. Метод допоміжного проекціювання (система площин проекцій змінює своє положення, напрям проекціювання також змінюється, фігура не переміщується),

До цього методу відносять:

• спосіб заміни площин проекцій;

• спосіб допоміжного косокутного проекціювання.

Головний (незалежний) елемент перетворення та основні задачі:

Головний(незалежний) елемент - пряма перетворення - а

1)Перша основна задача на пряму - пряму загального положення перетворити в лінію рівня

а→а¹ || П.

2)Друга основна задача на пряму - пряму загального положення перетворити в проекціювальну пряму.

а→а²_┴П.

(застосовується для знаходження відстані між прямими, від точки до прямої...)

Головний незалежний елемент перетворення - площина.

1. Перша основна задача на площину - площину загального положення перетворити в проекціювальну площину

α→ α¹_┴П

2) Друга основна задача на площину - площину загального положення • перетворити в площину рівня

α → α ² || П.

(Застосовується для визначення натуральної величини плоскої' фігури) Рішення другої задачі включає вирішення першої»

Плоскопаралельне переміщення.

Плоскопаралельним переміщенням (П П П) називають такий рух, при якому всі точки фігури (системи точок) переміщуються без зміни вигляду розмірів фігури в площинах, які паралельні між собою.

Переміщення точки можна розглядати як обертання навколо невідомої осі.

Приклад:: (рис. 4.2.)

1. Визначити Н.В. відрізка, кут його нахилу до П₁.

2. Спроекціювати відрізок в точку на П₁.

Рішення: Виконаємо першу основну задачу на пряму - перемістимо відрізок в положення, паралельне фронтальній площині. Для цього А'₁В'_{1 ┴} в. л. зв. По л. зв'язку на П₂ отримаємо А'₂В'₂ - Н.В. відрізка АВ та кут нахилу АВ до П₁ (див. рис. 4.2.)

Виконуємо другу основну задачу не пряму - перемістимо АВ в проекціювальне положення. Тобто, А'₂В'₂→ А²₂В²₂|| в. л. зв. і пряма перетвориться в точку (А²₁≡В²₁).

Такі перетворення прямої (відрізка) необхідно виконати при визначенні Н.В. відстані між прямою та точкою; двома паралельними прямими, та між мимобіжними прямими.

Заміна площин проекцій.

При розв'язанні різних задач, переважно метричних, доводиться робити не одну, а дві (три) заміни площин проекцій. На рис. 4.3 однією заміною знайдена натуральна величина відрізка прямої АВ, та кут нахилу відрізка до П₁. Для чого

проведена проекціююча площина проекцій П₄ паралельно горизонтальній проекції відрізку, а щоб спроекціюювати відрізок у точку, проведемо площину П₅ перпендикулярно до Н.В. відрізку і одержано проекцію відрізка - А₅В₅ (А₅=В₅). Як видно з рисунка, при заміні площин проекцій відстань від старої проекції А₂, наприклад точки А, до старої осі Х₁₂ дорівнює відстані від нової проекції А₄ точки А до нової осі S₁₄. При другому перетворенні заміряють відстань від старої осі S_]4 до старої проекції А₁ точки А і відкладають від нової осі S45 до нової проекції точки А₅. З точки В виконують ті ж самі перетворення.

На рис 4.4 проілюстровано визначення відстані між мимобіжними прямими АВ і КМ. Для цього один з відрізків КМ двома замінами спроекційовано в точку К₅М₅.

Перпендикуляр, опущений з цієй точки на проекцію другої прямої - А₅В₅ і являється Н.В. відстані між прямими.

Щоб визначити Н.В. трикутника АВС (рис. 4.5.) спочатку трикутник поставлено в проекціююче положення, для цього в ньому проведено горизонталь (h₂, h₁) і перпендикулярно до горизонтальної проекції (h₁) проведено площину П₄, а потім паралельно прямій в яку спроекціювався трикутник проведено площину П₅. Проекція А₅В₅С₅ і є Н.В. трикутника.