Тема 1.2. Определители Определители квадратных матриц

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу порядка .

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы является число, которое обозначаетсяили, или. В связи с отмеченным нельзя отождествлять понятие матрицы и ее определителя.

Определение 1.9.Определителем, соответствующим квадратной матрице-го порядка называется число, полученное из элементов такой матрицы по следующим правилам:

1) определитель -го порядка равен алгебраической суммеэлементов;

2) каждый член представляет собой произведение элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца; сомножители располагаются так, чтобы первым был элемент из первой строки, вторым - элемент из второй строки и т.д.;

3) член берется со знаком плюс, если число инверсий в перестановке вторых индексов сомножителей четное, и со знаком минус в противном случае.

Итак, согласно определению имеем:

Суммирование здесь - распространяется на все перестановки , которые можно составить из чисел.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Итак,. Такой определитель в общем виде записывается следующим образом:

.

Членом такого определения будет произведение вида:

где - любая перестановка из чисел 1, 2. Таких перестановок две:. Однако, в первом случае имеютинверсий, во втором одну. Тогда для первого случая отмечают, что здесь четное число инверсий, во втором случае - нечетное. В связи с отмеченным имеют:

.

Словесно такое соотношение формулируется так: определитель второго порядка, соответствующий квадратной матрице второго порядка, равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной ее диагонали.

Рассмотрим случай, когда . Здесь имеют определитель вида

.

Членами определителя третьего порядка является произведение вида: гдеперестановки из чисел. Таких перестановок шесть:

Следует отметить, что первая группа перестановок имеет четное число инверсий, вторая - нечетное, в связи с чем имеют:

Минор и алгебраическое дополнение

Пусть определитель матрицы-го порядка.

Определение 1.10.Миноромэлементаопределителя-го порядканазывается определитель-го порядка, полученный из определителя-го порядкавычеркиванием-й строки и-го столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Алгебраическое дополнение элементаопределителяравно минору этого элемента, умноженному на, т.е.

.

Например, если задан определитель третьего порядка

, то

;.

В то же время

;

Рассмотрим основные свойства определителей.

Свойства определителей

Ниже приведем ряд свойств, которыми обладает определитель -го порядка.

1. Свойство равноправности строк и столбцов.

При транспонировании величина определителя сохраняется, т.е. .

2. Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (или двух столбцов).

При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

3. Линейное свойство определителя.

Если в определителе -го порядканекоторая-я строкаявляется линейной комбинацией двух строк, ис коэффициентамии, то

, где

- определитель, у которого-я строка равна, а все остальные такие же строки, как и у, а- определитель у которого-я строка равна, а все остальные строки те же, что и у.

Следующие пять свойств являются логическим следствием трех основных свойств.

4. Если все элементы какой-либо строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Общий множитель всех элементов строки определителя можно вынести за знак определителя.

6. Если все элементы некоторой строки определителя пропорциональны соответствующим элементам другой строки, то определитель равен нулю.

7. Если к некоторой строке определителя прибавить линейную комбинацию нескольких других его строк, то величина определителя не изменится.

8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других его строк, то определитель равен нулю.

9. Свойство разложения определителя по элементам строки.

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо его строки на их алгебраические дополнения:

.

10. Свойство алгебраических дополнений соседних строк.

Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки равна нулю.