1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Елементи теорії матриць Матрицы. Действия над матрицами

Определение 1.1.Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел, содержащаястрок истолбцов.

Согласно определению, общий вид матрицы размерности представляется следующим образом:

.

Числа иназываются порядками матрицы. Числакоторые входят в матрицу, называются ее элементами. Индексыиэлементауказывают соответственно на номера строки и столбца, в которых расположен элемент.

Часто матрицу записывают сокращенно в виде , где.

Определение 1.2.Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Равенство матриц Сравнивить можно только матрицы одинаковой размерности

Определение 1.3.Две матрицы иназываются равными, если они имеют одинаковые порядки, а соответствующие элементы равны между собой.

Таким образом, , еслидля всех значений.

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

• матрицы можно складывать (вычитать)

• матрицу можно умножить на число

• можно умножать матрицу на матрицу

Сложение и вычитание матриц

Складывать и вычитать можно только матрицы одной размерности

Определение 1.4.Суммой двух матриц иодних и тех же порядков и называется матрица тех же порядкови, элементыкоторой определяются равенством .

Итак, по определению

.

Из определения суммы матриц следует, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

1) переместительным свойством: ;

2) сочетательным свойством: .

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число

Определение 1.5.Произведением матрицы на вещественное числоназывается матрица, элементы которой равны

Умножение матриц

Определение 1.6.Произведением матрицы имеющей порядки, соответственно равныеи, на матрицуимеющей порядки соответственно равныеи, называется матрицаимеющая порядки соответственнои, элементы которойопределены формулой

(1.1)

Из приведенного определения следует, что матрицу можно умножить на матрицутогда и только тогда, когда число столбцов матрицысоответствует числу строк матрицы.

Формула (1.1) дает правило составления элементов матрицы , являющейся произведением матрицына матрицу.Это правило называется правилом "строка на столбец" и может быть сформулировано следующим образом: элемент матрицыравен сумме попарных произведений соответствующих элементов-й строки матрицыи-го столбца матрицы.

Задача 1.1.Определить, если,

.

Транспонирование матриц

Транспонированием матриц называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Матрица, полученная таким образом из матрицы , называется транспонированной по отношению к матрицеи обозначается. Таким образом, если, то

Например, если , то

Может оказаться, что квадратная матрица совпадает со своей транспонированной матрицей, т.е.или. В таком случае матрицаназывается симметричной.

Для операции трансформирования матриц характерны следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Квадратные матрицы

Если порядки матрицы иравны, то матрица называется квадратной, а числоявляется ее порядком .В случае квадратной матрицы имеют

.

Для квадратной матрицы вводят понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Определение 1.7.Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Определение 1.8.Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, называется единичной и обозначается через.

.

С каждой квадратной матрицей связывают вполне определенную числовую характеристику, которая называется определителем, соответствующим этой матрице.