3.Введение в математический анализ

Тема 3.1. Функция

В зависимости от условий протекания физических процессов одни величины принимают постоянные значения и называются константами, другие - изменяются в определенных условиях и называются переменными.

Внимательное изучение окружающей среды показывает, что физические величины зависимы друг от друга, т. е. изменение одних величин влечет за собой изменение других.

Математический анализ занимается изучением количественных соотношений взаимно -изменяющихся величин, отвлекаясь от конкретного физического смысла. Одним из основных понятий математического анализа есть понятие функции.

Рассмотрим элементы множества и элементы множества(рис. 3.1).

Рис. 3.1

Если устанавливается некоторое соответствие между элементами множеств и в виде правила , то тем самым отмечают, что определяется функция .

Определение 3.1.Соответствие, которое связывает с каждым элементомне пустого множестванекоторый, вполне определенный, элементне пустого множества ,называется функцией или отображениемв .

Символически отображение в записывается следующим образом:

.

При этом множество называется областью определения функции и обозначается .

В свою очередь, множество называется областью значений функции и обозначается.

Кроме того, необходимо отметить, что элементы множества называют независимыми переменными, элементы множества называют зависимыми переменными.

Способы задания функции

Функция может задаваться следующими основными способами: табличным, графическим, аналитическим.

Если на основании экспериментальных данных составляют таблицы, в которых содержатся значения функции и соответствующие им значения аргумента, то такой способ задания функции называют табличным.

В то же время, если некоторые исследования результата эксперимента выводят на регистратор (осциллограф, самописец и т. д.), то отмечают, что функция задается графически.

Наиболее распространенным есть аналитический способ задания функции, т.е. способ, при котором с помощью формулы связывают независимую и зависимую переменные. При этом существенную роль играет область определения функции:

и

разные, хотя они и задаются одинаковыми аналитическими соотношениями.

Если задают только формулу функции , то считают, что область определения этой функции совпадает с множеством тех значений переменной, для которых выражениеимеет смысл. В этой связи особую роль играет проблема нахождения области определения функции.

Задача 3.1. Найти область определения функции

Решение

Первое слагаемое принимает действительные значения при ,а второе при. Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств:

В результате решения такой системы получают . Следовательно, область определения функции есть отрезок .

Простейшие преобразования графиков функций

Построение графиков функций можно существенно упростить, если пользоваться известными графиками основных элементарных функций. Основными элементарными функциями называются следующие функции:

1)степенная функциягде;

2)показательная функциягде -любое положительное число, отличное от единицы:и ;

3)логарифмическая функция, где -любое положительное число, отличное от единицы:и ;

4)тригонометрические функции ; .

5)обратные тригонометрические функции ;; ; .

Элементарными функциями называются функции, получающиеся из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций, примененных конечное число раз.

Простые геометрические преобразования также позволяют упростить процесс построения графика функций. Эти преобразования основываются на следующих утверждениях:

1. График функции y=f(x+a) есть графикy=f(x), сдвинутый (при a >0 влево, при a < 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

2. График функции y=f(x) +bесть графикy=f(x), сдвинутый (приb>0 вверх, приb< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

3. График функции y = mf(x) (m0) есть график y = f(x), растянутый (приm>1 ) вmраз или сжатый (при 0<m< 1) вдоль оси Oy. При –<m< 0 график функции y =mf(x) есть зеркальное отображение графика y = –mf(x) от оси O x.

4. График функции y = f(kx) есть график y = f(x), сжатый (при k >1) в k раз или растянутый ( при 0< k < 1 ) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.