МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНИ

Кафедра прикладной математики

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Учебное пособие для студентов экономических специальностей

Днепропетровск , 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 5

Раздел І. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 7

Тема 1.1. Элементы теории матриц 7

Тема 1.2. Определители 12

Тема 1.3. Обратная матрица. Ранг матрицы 18

Розділ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 25

Тема 2.1. Элементы векторной алгебры 25

Тема 2.2. Прямая на плоскости 36

Розділ 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 48

Тема 3.1. Функция 48

Тема 3.2. Предел числовой последовательности 51

Тема 3.3. Предел функции 58

Тема 3.4. Замечательные пределы 60

Раздел 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 64

Тема 4.1. Производная функции 64

Тема 4.2. Дифференциал функции одной переменной 70

Тема 4.3. Приложение дифференциального исчисления для исследования функций 71

Раздел 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУН­К­­ЦИИ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 78

Тема 5.1. Дифференцирование функции двух

переменных 78

Тема 5.2. Исследование функций двух переменных 81

Раздел 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 87

Тема 6.1. Неопределенный интеграл 87

Тема 6.2. Определенный интеграл 99

Тема 6.3. Несобственный интеграл 104

Раздел 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 107

Тема 8.1. Дифференциальные уравнения первого порядка 107

Тема 8.2. Линейные дифференциальные уравнения 115

Раздел 9. РЯДИ 129

Тема 9.1. Числовые ряди 129

Тема 9.2. Функциональные ряди 136

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ 148

ЛИТЕРАТУРА 170

ВВЕДЕНИЕ

В любом из современных курсов экономики в той или иной степени используется математический аппарат: анализируются графики различных зависимостей, проводится математическая обработка тех или иных статистических данных и т.д. С переходом украинской экономики на рыночные отношения роль математики и математических методов существенно возрастает. Действительно, центральная проблема экономики - это проблема рационального выбора. В плановой экономике (по крайней мере, на микроуровне, т.е. на уровне отдельного предприятия) практически нет выбора, а значит, роль анализа экономических процессов сущест­венно принижена. В условиях же рыночной экономики, когда каждой хозяйственной единице необходимо самостоятельно принимать решение, т.е. делать выбор, математическое моделирование становится крайне необходимым. В этой связи роль математических методов в экономике постоянно возрастает.

Необходимо отметить, по крайней мере, некоторые основные преимущества математического подхода при решении задач экономики. Во-первых, возрастает необходимость в уточнении различных понятий. Математика не может оперировать с нечетко, а тем более неконкретно определенными понятиями. Следовательно, если применяют математические методы для решения определенных задач, то необходимо на первых этапах составления математической модели четко сформулировать задачу. В том числе четко представить и обосновать все сделанные допущения. Во-вторых, развитость математических теорий как таковых (векторная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальные уравнения, корреляционный и регрессионный анализ и т. д.), предоставляет к услугам исследователя очень мощный и развитый математический аппарат.

Разумеется, в использовании математических методов есть и свои слабые стороны. При попытке формализовать экономическую ситуацию может получиться очень сложная математическая модель. Для того чтобы ее упростить, приходится вводить новые допущения, зачастую не оправданные с точки зрения экономики. В этой связи исследователя подстерегает опасность заниматься математической техникой вместо анализа подлинной экономической ситуации. Главное здесь - проверка опытными данными выводов математической модели.

Учебное пособие иллюстрировано многочисленными примерами, которые позволяют более полно понять сущность основных теоретических положений. В конце учебного пособия представлены примеры для самостоятельной работы студента. Выполнение каждого индивидуального задания направлено на закрепление основных навыков решения задач.

3