9. Ряды

Понятие бесконечного ряда и его суммы относится к основным понятиям математического анализа. Бесконечные ряды применяются во многих теоретических исследованиях математического анализа, а также в разнообразных приложениях.

Тема 9.1. Числовые ряды

Определение 9.1.Числовым рядом называется выражение вида

(9.1)

где - действительные или комплексные числа, они называются членами ряда.

Определение 9.2. Член ряда, выраженный в виде функции его-ного номера, называется общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если указан способ определения его любого члена.

Ряд (9.1) часто записывают в следующем виде

.

Числовой ряд

,

имеющий общий член , компактно записывается следующим образом

. (9.2)

Ряд (9.2) называется гармоническим.

Определение 9.3.Суммапервыхчленов ряда называется частной суммой этого ряда.

Определение 9.4.Суммой ряданазывается предел частной суммыряда при условии, чтопроизвольным способом неограниченно возрастает по натуральным числам, т.е..

Числовой ряд, имеющий сумму, называется сходящимся, а ряд, не имеющий суммы, называется расходящимся.

Гармонический ряд является расходящимся рядом, а ряд, составленный из членов любой убывающей прогрессии , является сходящимся рядом, т.к. имеет сумму. В случае, когдаряд будет расходящимся, т.к. его частная суммане имеет предела при, являясь бесконечно большой величиной.

При исследовании рядов возникает основная проблема, которая состоит в установлении факта в сходимости или расходимости ряда. Для решения этой задачи существует ряд теорем и признаков. Рассмотрим основные теоремы о сходящихся числовых рядах.

Теорема 9.1.Если сходится ряд

то сходится и ряд

получаемый из данного ряда отбрасыванием первых членов.

Теорема 9.2.Если сходится ряд

и суммой его является число то сходится и ряд

при чем сумма его равна .

Теорема 9.3.Если ряд

сходится, то т-е- приобщий член сходящегося ряда равен нулю.

Теорему 9.3. часто называют необходимым признаком сходимости ряда, и, следовательно, если , то ряд расходится.

Рассмотрим важнейшие признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.

Первый признак сравнения.Пусть даны два ряда с положительными членами

(9.2)

и

, (9.3)

причем каждый член ряда (9.2) не превосходит соответствующего члена ряда (9.3), т.е. .

Тогда, если сходится ряд (9.3), то сходится и ряд (9.2); если расходится ряд (9.2), то расходится и ряд (9.3).

Второй признак сравнения.Если существует конечный и отличный от нуля предел, то оба рядаи, то оба ряда одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Задача 9.1. Исследовать сходимость ряда

Данный ряд получен из гармонического отбрасыванием первых десяти членов. Следовательно, он расходится.

Задача 9.2.Исследовать сходимость ряда

Здесь. Сравним данный ряд с гармоническим, у которого

:.

Следовательно, принимая во внимание второй признак сравнения, данный ряд расходится.

Задача 9.3.Исследовать сходимость ряда

сравним данный ряд с гармоническим, т.к., то в соответствии с первым признаком сравнения исходный ряд расходится.

Признак Коши.Если для рядас неотрицательными членами существует такое число, что для всех достаточно большихвыполняется условие, то ряд сходится, если, то ряд расходится.

Задача 9.4.Исследовать сходимость ряда.

Здесь. Воспользовавшись признаком Коши, имеем

.

Таким образом, исходный ряд сходится.

Признак Даламбера.Если для знакоположительного ряда, то этот ряд сходится прии расходится при0> 1.

Задача 9.5.Исследовать сходимость ряда.

Здесь, а.

Воспользуемся признаком Даламбера

.

Таким образом, исходный ряд сходится.

Следует отметить, что доказательство признака Коши и Даламбера основано на сравнении заданных рядов с рядом геометрической прогрессии. В этой связи эти признаки "не чувствительны" к рядам, сходящимся "медленнее", чем геометрическая прогрессия. Для таких рядов применяют более сильные признаки, в частности, интегральный признак.

Интегральный признак сходимости рядов с положительными членами. Если функцияпри- непрерывная, положительная и монотонно убывающая на промежутке, то ряд

,

т.е. , и интегралведут себя одинаково в отношении сходимости.

Задача 9.6.Исследовать сходимость ряда

.

Воспользуемся признаком Даламбера, при этом имеем

.

Признак Даламбера не позволяет установить факт сходимости. Воспользуемся интегральным признаком. При этом

и .

Таким образом, исходный ряд сходится.