высшая математика / 78-86_Ф_двух_пер
.doc5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Тема 5.1. Дифференцирование функции двух переменных
Определение 5.1 Переменная : называется функцией двух независимых переменных (аргументов) и , если каждой паре значений из множества соответствует одно определенное значение .
Функция двух переменных, обозначается так
и т.п.
Область называется областью определения (существования) функции . Аналогично определяются функции любого числа аргументов . Поэтому в дальнейшем будем, как правило, рассматривать, не нарушая общности, функции двух независимых переменных.
Определение 5.2 Частной производной от функции по независимой переменной, например , называется производная
,
вычисленная при постоянном значении другого аргумента -.
Поэтому частные производные находят по правилам дифференцирования функции одной переменной, считая остальные переменные константами. Можно использовать различные обозначения, частной производной:
.
Аналогично определяется частная производная по переменной .
Определение 5.3 Полным приращением функции в точке называется величина
,
где - приращения аргументов.
Определение 5.4 Главная, линейная относительно и , часть полного приращения функции называется полным дифференциалом . Так как при малых приращениях , то
.
Для дифференцирования сложных функций (т.е. функций, зависящих от промежуточных аргументов) используют следующие формулы:
Если а , , то
.
Если а , то
.
Если а , то
Функции нескольких переменных могут иметь частные производные и дифференциалы высших порядков.
Определение 5.5 Частными производными -го порядка от функции называются производные от ее частных производных -го порядка. Так, частные производные второго порядка обозначаются так:
;
.
Две последние частные производные называются смешанными и для непрерывных функций они совпадают. Дифференциалы высших порядков могут быть найдены по следующей символической формуле
.
В частности, для второго и третьего порядков получим такие зависимости:
.
Определение 5.6 Производной функции в точке в направлении вектора называется предел
,
где - направляющие косинусы вектора .
Определение 5.7 Градиентом функции в точке называется вектор, выходящий из указанной точки и имеющий своими координатами частные производные функции :
.
Градиент является направлением наибольшего роста функции в данной точке.
Существует зависимость
.
Тема 5.2. Исследование функций двух переменных
Для определения экстремальных точек функции проверяют выполнение двух условий существования экстремума.
Теорема 5.1 Необходимое условие: и , или обе частные производные не существуют. Тем самым определяются критические точки .
Теорема 5.2 Достаточное условие. Обозначим , , , .
Тогда будем иметь:
- если , то в точке существует экстремум, а именно: максимум при или минимум при ;
- если , то в точке экстремума нет;
- если , то требуется дополнительное исследование в этой точке.
Задача 5.1 Найти область определения, а также частные производные и дифференциал второго порядка функции .
Решение
Область определения данной функции ограничены условием или , т.е. представляет собой множество точек плоскости, лежащих вне единичного круга.
Далее последовательно находим
; ;
; ;
.
Задача 5.2 Найти:
а) если ;
б) и если ;
в) , если , , .
Решение
а)
б)
.
в)
.
Задача 5.3 Найти градиент к производную по направлению вектора функции в точке .
Решение
По определению
Предварительно найдем значение частных производных в точке и направляющие косинусы вектора: .
,
Задача 5.4 Определить размеры прямоугольного параллелепипеда с диагональю , имеющего максимальный объем.
Решение
Пусть и - длины ребер параллелепипеда. Тогда его объем
.
Так как , то и .
Очевидно, что , , , .
Множество точек , удовлетворяющих этим требованиям, можно изобразить так (рис.5.1):
Рис. 5.1
Для нахождения точек экстремума приравняем к нулю частные производные функции :
Отсюда
Итак, имеем 4 критические точки:
; ; ;
Условию задачи удовлетворяет только первая точка .
Проверим выполнение в этой точке достаточного условия существования экстремума.
А=
Следовательно, в точке М существует экстремум, а именно максимум .
Зная и , найдем :
Значит, .
Итак, изо всех прямоугольных параллелепипедов с фиксированной диагональю максимальный объем имеет куб с ребром, равным .