Лабораторная работа №8 стохастическая идентификация многомерного объекта

Цель работы:

Оценить влияние количества вычислений и ошибки измерения на точность вычисления коэффициентов.

Теоретическая часть

Оценка параметров модели линейной системы некоторого уравнения может быть выполнена с помощью метода наименьших квадратов (МНК). При этом вычисление параметров производится по совокупности значений всех элементов массивов входных и выходных данных. Следовательно, параметры рассчитываются по окончании формирования этих массивов, т.е. после выполнения достаточно объемного эксперимента. Нужно также учесть, что такой способ оценки параметров не учитывает их возможного дрейфа во времени, т.е. МНК ориентирован на стационарные объекты управления.

Процедуры адаптивной идентификации предусматривают оценку параметров на основе достаточно малого объема экспериментального материала с последующей коррекцией полученных оценок по вновь поступающей информации.

В инженерной практике для решения задач идентификации дискретных линейных стационарных и нестационарных систем широко применяется метод Качмажа. Уравнение системы имеет вид:

y(k) = A^TX(k), k = 1, 2, …, ( 8.1 )

где y(k) - скалярный выходной сигнал системы;

X(k) - n-мерный вектор входного сигнала;

А - вектор неизвестных параметров размерности n.

Эффективность метода зависит, в первую очередь, от стохастических свойств входной последовательности X(k) (k = 1, 2, …). Например, если векторы Х(1), …, Х(n) взаимно ортогональны, точное значение вектора параметров А может быть получено за n шагов. Если же векторы Х(1), …, Х(n) - независимые гауссовские случайные процессы с одинаковыми дисперсиями, то для достаточно точного определения вектора параметров А требуется уже выборка в L = (4...5)·n членов.

Алгоритм Качмажа может быть представлен соотношением:

, k = 2, 3, …. ( 8.2 )

Здесь А_k - оценка на k-ом шаге неизвестного вектора параметров А. Значение вектора начального приближения А₁ задается априорно.

Таким образом алгоритм Качманжа состоит из рекурентной процедуры с неизвестными начальными значениями, которые задаются априорно. В процессе работы алгоритма значения А_i постепенно уточняются. Предельное значение А_i при i®¥ и дает искомую оценку вектора A.

При цифровом моделировании идентификации методом Качманжа требуется генерировать случайные векторы X(k), обладающие заданными статическими свойствами. Относительно простой процедурой, позволяющей получить случайные переменные с заданной корреляционной функцией будет следующая.

Предположим, компоненты x_i (i = 1, …, n) вектора X - независимые гауссовские случайные процессы с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией.

R(t) = b²·exp(-a|t|), ( 8.3 )

где b, a - константы (a>0).

Случайные величины x_i моделируются с помощью следующих рекурентных соотношений:

, ( 8.4 )

DP_i(j) = -a[x_i(j-1)-DZ_i(j)], ( 8.5 )

x_i(j) = x_i(j-1) + DP_i(j)×Dt, ( 8.6 )

где j = 1, ¼, N₁; N₁ - число обращений к процедуре для получения одной точки процесса x_i = x_i(N₁); Dt - шаг квантования при прохождении точки x_i(j)(Dt = N₁^‑1); x_i(j) - независимая случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0, 1]. На первой итерации начальные значения x_i(0) полагаются нулевыми.

Порядок выполнения работы

1. Выполнить адаптивную идентификацию модели y = a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ методом Качманжа. Для этого запустить программу adapt.exe.^* Ознакомиться с описанием (пункт меню «Помощь»). Ввести коэффициенты модели в соответствии с вариантом (табл. 8.1) используя пункт меню «Ввод данных».

Табл. 8.1

№	a1	a2	a3	b	a	№	a1	a2	a3	b	a
1	4	-2	7	7.3	0.41	16	-0.6	3	-2.3	1.3	0.18
2	2	3	-1.5	6.4	0.26	17	3.2	2.5	-4.1	5	0.28
3	-1.5	2.5	3.4	5.8	0.25	18	3.7	-1.5	-4.2	1.9	0.29
4	2	-1	-1.5	2	0.41	19	1.3	-3.4	3.5	2.6	0.15
5	-3	1	2.3	3.5	0.14	20	4.4	2.5	4	3.5	0.2
6	-5	2	2.5	2.7	0.28	21	3.5	-2.3	2.5	2.4	0.25
7	-3.1	-1.1	-2.5	4	0.15	22	3.8	-2	-3	2.7	0.33
8	2.5	-2.5	3.8	2.5	0.17	23	-2.5	4.6	2.3	3.5	0.17
9	2.3	0.7	4.4	6.5	0.33	24	-4.1	1.2	-2.7	3.1	0.41
10	-1.5	4.0	2.4	4.3	0.19	25	0.7	1.8	3.7	5.7	0.1
11	3.4	-2.6	1.3	2.3	0.27	26	2.4	-2.5	2.4	1.9	0.15
12	2.4	3.2	3.7	4.1	0.31	27	3.8	-1.2	3.1	4.2	0.2
13	-4.1	2.3	3.2	1.5	0.13	28	-4.2	5.0	4.1	4.6	0.25
14	-2.7	-4.4	-3.6	5.5	0.17	29	-2.3	-1.7	-1.5	1.5	0.3
15	-1.8	-2.8	3.8	4	0.24	30	-3.6	1.5	2.5	7.0	0.36

2. В пункте меню «Исследование объекта» задать погрешность измерения не более 0.01%, дисперсию процесса b и интервал корреляции a в соответствии с вариантом. Количество опытов - от 1 с шагом 1 до тех пор, пока относительная погрешность для каждого из коэффициентов не будет равна 0. Вычисления осуществляются запуском команды «Счет». Фиксировать значения рассчитанных коэффициентов и соответствующих погрешностей на каждом шаге.

3. Построить зависимости относительной погрешности для каждого из коэффициентов от количества опытов.

4. Сделать выводы по работе.

Литература

1. Болнокин В.Е., Чинаев В.И. Анализ и синтез систем автоматического управления на ЭВМ. Алгоритмы и программы. - М.: Радио и связь, 1986.

*Программа DOMPLAV разработана В.С.Плевако, А.В.Бородулиным и др. (Институт черной металлургии НАН Украины).

* Разработана канд. техн. наук Ноговицыным А.В. и Лошкаревым Д.В. (Институт черной металлургии НАН Украины).

*Программа разработана студентом гр. МА-94 Алексеенко Ю. (ГМетАУ)

40