Metodichka_liniyna_algebra

а) x2 - 9 y2 + z2 = 0 ;

б) x2 + y2 = 25 .

Варіант 25.

− 7

− 3

9

4

3

2

3

6

1. Обчислити визначники: а) =

б) =

0

5

0

0

0

7

5

2

,

4

1

8

0

2

.

7

6

1

1

5

5

3

− 5

− 9

0

2

4

0

5

− 5

3

− 2

A =

,

B =

.

1

5

0

1

2x1 + 5x2 + x3 = − 2;

− x1 − 3x2 + 2x3 = −1;

3x +

x

2

− x

3

= 6.

1

5x1 + 2x2 + x3 = 3;

3x1 + 4x2 - 4x3 = 4;

- 3x1 - x2 + 2x3 = -2;

= 4; .

а)

x1 + 3x2 - x3 = -2;

б) 2x1 - x2 + x3 + x4

+ 2x2 - 2x3 + 2x4

= 12.

3x + 4x

+ 2x

= -1.

7x1

2

3

1

5. Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

− 3

,

косинус

b

b

m

a

n

a

кута

між ними,

та

напрямні

косинуси

вектора

,

якщо

пр

b

m

b

= {1; - 3; 2},

= {2; - 3; 1}.

b

a

6.

Сили

= {− 3;−1;−2},

= {5;3;3},

= {1;0;2}

прикладені

до

точки

F1

F2

F3

A(1;1;0). Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при переміщенні

матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки B(2;5;3).

7.

Знайти

момент сили

= {3;3;4},

прикладеної

до точки

A(0;2;5),

F

10. Точки A(− 8;5), B(6;−2), C(− 1;−3) є вершинами трикутника ABC,

а

точки P і Q ділять сторону AB цього трикутника, починаючи з вершини

A,

від даних прямих.

12.

Звести задані рівняння кривих до канонічного вигляду, визначити їх

тип, знайти півосі, фокуси, ексцентриситет та рівняння директрис:

а) x2 − 25 y2 − 2x − 24 = 0 ;

б) 4x2 + 25 y2

− 16x + 100 y + 16 = 0 .

13.

Скласти рівняння площини, яка

проходить

через точки

A(0;3;0) і

B(1;2;−1) перпендикулярно до площини 7x − y + z − 3 = 0 .

14.

Задані точки A(− 1;2;−3);

B(4;−1;0); C(2;1;−3). Записати: а) рівняння

площини, що проходить через ці

точки; б) обчислити відстань від точки

M (1;−6;−5) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить через

точку B перпендикулярно до площини; г) рівняння площини, яка проходить

через точку M паралельно до площини;

д) рівняння прямої,

яка проходить

через точки M і B .

x − y − z + 2 = 0,

15.

Звести загальне рівняння

прямої

до канонічного

x − 2 y + z + 4 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16.

Знайти координати проекції

точки M (4; −1; − 5)

на

площину

17. Знайти: а) проекцію точки M (6;1; − 5) на пряму x − 5 = y + 3 = z + 3 ;

8

−1

2

18. Двійки векторів

′

′

e1 (2; 1), e2 (1; 5)

утворюють в

та e1

(5; 16),

e2 (14; 43)

просторі L базиси B та

B′

відповідно, а

2

1

є матрицею оператора в

A =

2

3

− 2

базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ; б) матрицю

′

′

.

A оператора в базисі B

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

1

2

′

заданого матрицею A =

. та записати відповідну матрицю

A в базисі з

0

5

власних векторів.

20.

Квадратичну форму F (x, y) = 7x2 + 6xy + 7 y2

звести до канонічного

вигляду та знайти відповідне ортогональне перетворення.

21.

Користуючись теорією квадратичних

форм,

звести до

канонічного

а); x2 = 1 −

y2

−

z2

б) x + 3y = 0 .

4

9

Варіант 26.

− 3

0

8

0

4

1

5

4

− 1

2

0

− 4

0

1. Обчислити визначники: а)

=

− 2

7

6

, б)

=

3

7

0

5

7

.

0

7

− 3

2

5

1

− 5

0

1

− 1

0

8

5

2. Знайти матрицю X з матричного рівняння X × B + A = B2 , якщо

A =

- 9

3

,

B =

1

- 2

.

5

1

0

2

3. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

- 2x1 + x2

= -5;

x2

+ 4x3 = -1;

- x2 + x3

= 3.

x1

2x1 + 3x2

− 4x3

= −5;

x1

+ 5x2

− 3x3 + x4 = 7;

1

− 2x

2

+

3

= 8;

5x

x

б) 2x1 − x2

+ 5x3 + x4 = 2;

а)

3x

+ 2x

+ x

= 2;

2

3

4x

+ 9x

− x

+ 3x

= 16.

1

2

3

4

6x + 3x

+ 2x

= 5.

1

2

3

1

5. Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

− 3

, косинус

b

b

m

a

n

a

кута між ними,

та напрямні косинуси вектора

,

якщо

= {− 1; 5; 2},

пр

b

m

a

b

6.

Сили

= {2;4;−1},

= {−1;−3;3},

= {1;1;1} прикладені

до

точки

F1

F2

F3

A(− 3;−4;2).

Обчислити

роботу,

яку виконує рівнодійна

цих

сил

при

переміщенні матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки

A до точки

B(1;0;4).

7.

Знайти

момент

сили

= {4;−3;5},

прикладеної

до

точки

A(2;1;0),

F

відносно точки B(3;−7;−9).

8. Задано дві трійки векторів:

а)

e1 = {− 2; 3; 11},

2 = {1; 1; 2},

e3 = {5; − 1; − 8};

e

б)

e1 = {3; 1; 5},

2 = {−1; 2; − 3},

3 = {2; − 1; 5}.

e

e

Визначити,

яка

з трійок утворює

базис та

обчислити

координати вектора

площини, що проходить через ці точки; б) обчислити відстань

від точки

M (− 12;7;−1) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить

через точку B перпендикулярно до площини; г) рівняння

площини,

яка

проходить через точку M паралельно до площини; д) рівняння прямої,

яка

проходить через точки M і B .

x + 5 y + 2z + 11 = 0,

15. Звести загальне рівняння прямої

до канонічного

x − y − z − 11 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16. Знайти координати проекції

точки M (2; − 5;1)

на

площину

5

2

1

б)

відстань від M до прямої; в)

точку M ′ , симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18. Двійки векторів e1 (1; 4),

28)

утворюють в

e2 (5; 2) та e1

(16; 10),

e2 (43;

просторі L базиси B та B′

відповідно, а A =

1

3

є матрицею оператора в

2

2

− 1

базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ; б) матрицю

′

′

.

A

оператора в базисі B

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

2

5

′

заданого матрицею A =

. та записати відповідну матрицю

A в базисі з

5

2

власних векторів.

F ( x, y) = 4x2 + 12xy + 4 y 2 звести до канонічного

20. Квадратичну форму

вигляду та знайти відповідне ортогональне перетворення.

21. Користуючись теорією квадратичних форм, звести до канонічного

вигляду рівняння лінії другого

порядку − 4x2

− 4 y 2

+ 2xy + 10x − 10 y + 1 = 0 ,

7

− 2

7

0

4

− 3

1

5

0

0

0

2

0

1. Обчислити визначники: а) =

− 3

4

5

, б) =

7

− 3

2

7

8

.

1

5

1

3

0

1

0

9

− 4

5

1

5

0

3

− 3

,

1

−1

A =

B =

.

5

1

2

1

3. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

4x1 + 2x2 − x3 = −7;

x1 + 2x2

= −1;

x − 3x

2

+ x

3

= 2.

1

2x1 + 3x2 - x3 = 9;

x1 - 4x2 + 2x3 - x4

= 7;

2x1 + x2 - 5x3 = 9;

+ x2 - 3x3 + 2x4

= 5;

а)

б) 2x1

- x1 + 2x2 + 4x3 = -1,

= 17.

3x + 6x

- 2x

= 17.

5x1 - 2x2 - 4 x3 + 3x4

2

3

1

5.

Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

− 3

,

косинус

b

b

m

a

n

a

кута між ними,

та напрямні косинуси вектора

, якщо

= {3;−1;1};

пр

b

m

a

b

={− 1;−2; 2}.

b

6.

Сили

= {1;−2;3},

F2 = {− 2;2;1},

= {2;3;−1}

прикладені

до

точки

F1

F3

A(1;2;3). Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при переміщенні

матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки B(2;3;6).

7.

Знайти момент сили

= {4;-2;3},

прикладеної

до точки

A(3;1;−2),

F

відносно точки B(5;3;−3).

8. Задано дві трійки векторів:

а)

e1 = {8; − 2; − 11},

2 = {5; 1; − 2},

e3 = {− 1; 1; 3};

e

б)

e1 = {3; 1; 4},

2 = {5; 4; − 1},

e3 = {− 1; 3; − 3}.

e

Визначити, яка

з трійок утворює базис

та обчислити

координати

вектора

9. Точки

A1 (4;2;−2), A2 (6;0;2), A3 (4;−2;6), A4 (0;16;0) є вершинами піраміди.

Обчислити: а)

площу грані A1 A2 A3 ;

б) об'єм піраміди; в) висоту

піраміди,

проведену з вершини A4 .

10. Точки A(1;−7), B(8;0), C(−1;1)

є вершинами трикутника ABC, а точки P

і Q ділять сторону AB цього трикутника, починаючи з вершини

A, на три

точку Q паралельно до сторони AC ;

в) рівняння висоти, опущеної з вершини

A ; г) обчислити довжину медіани AМ.

11. Знайти

відстань

між паралельними прямими 2x − 3y − 1 = 0 та

− 4x + 6 y + 3 = 0 .

Написати

рівняння

прямої, що знаходиться на однаковій

а) y2 − 8x −10 y + 17 = 0 ;

б) x2 + 9 y2 + 2x + 36 y + 1 = 0 .

13. Скласти рівняння площини, яка

проходить через точки

A(1;1;3) і

B(3;0;2) перпендикулярно до площини 4x + 5y + z −13 = 0 .

14.

Задані точки A(2;−1;1);

B(5;5;4); C(3;2;−1). Записати: а)

рівняння

площини, що проходить через ці точки; б) обчислити

відстань

від точки

M (4;1;3) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить через

точку B перпендикулярно до площини; г) рівняння площини, яка проходить

через точку M паралельно до площини;

д) рівняння прямої,

яка проходить

через точки M і B .

4 x + y + z − 3 = 0

15. Звести загальне рівняння прямої

до канонічного

2 x + 3 y − z + 1 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16.

Знайти

координати

проекції

точки

M (7; 4;1)

на

площину

5x + 4 y − 2z − 4 = 0

та координати точки M ′ , симетричної точці M відносно

цієї площини.

y − 4

z − 3

17. Знайти: а) проекцію точки M (7;0; − 2) на пряму

x

=

=

;

− 8

2

1

б) відстань від M до прямої; в) точку M ′ , симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

= {3;−2};

2 = {1;3} та

e1′ = {7;−1};

2′ = {2;−5} утворю-

18.

Двійки векторів

e1

e

e

ють в просторі L

базиси

B та

B′ відповідно,

а

6

− 2

A =

є матрицею

2

−

6

1

′

′

.

б) матрицю A оператора в базисі B

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

заданого матрицею

1

2

′

в базисі з

A =

та записати відповідну матрицю

A

4

5

а) x2 + y2 + z2 + 8x = 0 ;

б) x − 4z2 = 0 .

Варіант 28.

1

0

4

5

0

1. Обчислити визначники: а) =

2

1

7

б) =

2

− 3

7

7

0

3

4

5

,

3

0

− 2

4

5

.

− 4

7

2

− 5

5

2

0

0

− 2

1

7

3

0

1

- 1

,

1

1

A =

B =

.

5

3

2

1

3. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

2x1 - x2 + 3x3 = 7;

+ 3x2

+ x3

= 3;

x1

- x2 + 4x3

= 6.

x1

- x1 + 2x2

+ 13x3 = 3;

2x1

+ 7x2

- 4 x3 + 2x4 = 3;

+ x3

= 0;

2x1 - x2

- 2x2

+ 3x3 + 4x4 = 5;

а)

3x1 + 5x2

- x3

= 13;

б) x1

+ 3x2

+ 2x3 + 10x4 = 13.

4x + 6x

+ 13x

= 16.

4x1

2

3

1

5.

Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

− 3

, косинус

b

b

m

a

n

a

кута між ними, пр

та напрямні косинуси вектора

, якщо

= {3;1; − 2};

b

m

a

b

={4;−2;0}.

b

6.

Сили

= {1;−3;5},

F2 = {− 3;4;−3},

F3 = {2;2;−1}

прикладені

до

точки

F1

A(0;−2;2). Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при переміщенні

матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки B(2;1;3).

7.

Знайти момент сили

= {1;3;−4}, прикладеної

до точки

A(−1;0;−4),

F

відносно точки B(3;2;−1).

8. Задано дві трійки векторів:

а)

e1 = {5; 3; 4},

2 = {−1; 0; 1},

3 = {0; 1; 3};

e

e

б)

e1 = {4; −1; 3},

2 = {5; 2; 1},

3 = {− 2; 1; −1}.

e

e

Визначити, яка з трійок утворює базис та обчислити координати

вектора

= {− 4; − 6; 2} у цьому базисі.

a

9. Точки

A1 (− 4;2;−2), A2 (−10;−10;−8), A3 (− 6;−4;4), A4 (− 8;−4;6)

є вершина-

ми піраміди.

Обчислити: а) площу грані A1 A2 A3 ; б) об'єм піраміди; в) висоту

A ; г) обчислити довжину медіани AМ.