Metodichka_liniyna_algebra

x′ −

8

x′′ =

5 , яка означає паралельний

Здійснюємо тепер заміну змінних:

′′

= y

′

+

1

y

5

перенос початку координат у центр кривої, після якої матимемо канонічне

рівняння кривої x′′ +

y′′ = 1. З канонічного рівняння встановлюємо тип цієї

4

9

кривої – це еліпс з вертикальною фокальною віссю.

Графіки цього еліпса у різних координатих площинах:

y

y′

8

;−

1

y′′

C

5

5

α

x

• С

x′

x′′

Завдання 22. Вказати тип та нарисувати поверхні:

а) x 2 + z 2 = y 2 ;

б) 2x + 3y + z − 6 = 0 .

Розв’язання. а)

Рівняння x2 + z 2

= y 2

є рівнянням другого порядку і

описує деяку поверхню другого порядку. Щоб визначити тип цієї поверхні,

досить переписати задане рівняння у вигляді:

B

y

A

x

Зауважимо, що перший відрізок

AB лежить на координатній площині

xOy, рівняння якої

z = 0 . Якщо

розглянути

в

сукупності

рівняння

досліджуваної площини

α та рівняння площини

xOy :

2x + y + 3z - 6 = 0

z =

, то

0

одержимо рівняння

2x + y − 6 = 0 .

Це − рівняння

прямої перетину

двох

площин, яку називають слідом площини α на координатній площині

xOy.

Відрізок BC yOz

належить прямій y + 3z − 6 = 0 −

сліду площини

α на

координатній

площині yOz , а

відрізок AC xOz належить

прямій

2x + 3z − 6 = 0 −

сліду площини α на координатній площині xOz .

− 1

1

4

0

3

− 2

1. Обчислити визначники: а) =

3

2

=

− 2

6

0

0

3

0

5

4

, б)

1

3

2

4

− 4

.

3

2

6

5

2

0

1

3

1

0

0

5

7

− 3

1

3

6

A =

,

B =

.

0

− 1

1

− 3

x1 − 3x2

+ x3

= −3;

3x1 + x2

+ 2x3

= 0;

2x

+ x

2

− x

3

= − 2.

1

3x1 + 6x2

+ x3 = -2;

x1 - 7x2

+ 4 x3 + x4

= 2;

- 3x3 = 1;

5x1 + x2

+ 4x2

- 3x3 + x4

= 6;

а)

x1

- 2x2

+ 4x3 = 7;

б) x1

+ x2 - 2x3 + 3x4

= 14.

3x

+ 5x

2

- 6x

3

= -8.

3x1

1

5. Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

− 3

,

косинус

b

b

m

a

n

a

кута між ними,

та напрямні косинуси вектора

, якщо

= {1;3;−4},

пр

b

m

a

b

={2;0;−2}.

b

6. Сили

= {− 1;0;4},

до

точки

F1

F2 = {3;1;−1}, F3 = {0;1;1} прикладені

A(− 5;3;0). Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при переміщенні

матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки B(0;4;5).

7. Знайти

момент сили

= {- 4;2;5},

прикладеної

до точки

A(0;2;7),

F

відносно точки B(2;1;1).

8. Задано дві трійки векторів:

а)

e1 = {2; 4; 1},

2 = {1; 2; 3},

3 = {3; 1; −1};

e

e

б)

e1 = {2; 1; 4},

2 = {1; 4; 9},

3 = {−1; 5; 9}.

e

e

Визначити, яка з трійок утворює базис та

обчислити

координати

вектора

= {4; 3; − 3} у цьому базисі.

a

площини, що проходить через ці точки; б) обчислити відстань

від точки

M (− 4;−13;6) до цієї площини;

в) записати рівняння прямої,

яка проходить

через точку B перпендикулярно до площини; г) рівняння

площини,

яка

проходить через точку M паралельно до площини; д) рівняння прямої,

яка

проходить через точки M і B .

4x + y − 3z + 2 = 0,

15.

Звести загальне рівняння прямої

до канонічного

2x − y + z − 8 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16.

Знайти координати

проекції

точки M (−1;0;3)

на

площину

17. Знайти: а) проекцію точки M (5; − 3;2) на пряму

x −1

=

y

=

z −1

;

3

4

− 7

б) відстань від M до прямої; в) точку M ′ , симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18. Двійки векторів e1 (2; 1), e2 (3; 5) та

28)

утворюють

e1

(11; 16), e2 (21;

1

5

в просторі L2 базиси B та B′ відповідно, а A =

є матрицею оператора в

4

10

′

′

.

A

оператора в базисі B

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

заданого матрицею A =

5

2

′

в базисі з

та записати відповідну матрицю

A

5

2

а) x2 + y2 = z2 ;

б) 2x + 3y + z − 6 = 0 .

Варіант 2

− 1

−1

2

4

2

5

1. Обчислити визначники: а) =

2

4

=

0

1

0

4

− 3

5

3

2

, б)

0

2

6

1

1

.

− 3

0

4

0

− 2

3

0

4

0

3

1

4

5

A =

2

- 4

- 4

-10

,

B =

.

1

0

0

- 5

3. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

5x1 + 2x2 + x3 = 3;

= 1;

- 3x1 - x2 + 2x3

+ 3x2 - x3 = 2.

x1

4x1 + x2

- 3x3

= 5;

5x1 - 5x2 - 2 x3

- 2x4

= -14;

+ 3x2

+ 5x3

= 2;

- x1

+ 2x2 + 3x3

- 2x4

= 5;

а)

2x1

- x2

+ 6x3

= 1;

б) x1

- x2 + 4x3

- 6x4

= -4.

5x + 3x

+ 8x

= 8.

7x1

2

3

1

5.

Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

− 3

,

косинус

b

b

m

a

n

a

кута між ними, пр

та напрямні косинуси вектора

,

якщо

= {−2; 1; 3},

b

m

a

b

= {2; 2; −1}.

b

6. Сили

= {2;−1;−5},

= {1;−1;4},

прикладені

до

точки

F1

F2

F3 = {1;3;3}

A(2;−3;−5). Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при

переміщенні матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки

B(4;1;−1).

= {1;2;3}, прикладеної

7. Знайти

момент сили

до

точки

A(4;5;6),

F

відносно точки B(5;3;−1).

8. Задано дві трійки векторів:

а)

e1 = {1; 2; 3},

2 = {2; 4; 1},

e3 = {3; 6; − 1};

e

б)

e1 = {1; 3; 2},

2 = {− 3; 4; − 1},

e3 = {1; − 2; 1}.

e

Визначити, яка з трійок утворює базис та обчислити

координати

вектора

= {4; − 3; 5} у цьому базисі.

a

9.

Точки

A1 (− 2;0;0), A2 (2;0;1), A3 (−1;−4;−2), A4 (− 3;0;−6)

є

вершинами

піраміди. Обчислити: а) площу грані A1 A2 A3 ; б)

об'єм

піраміди; в) висоту

A ; г) обчислити довжину медіани AМ.

прямими 5x − 2 y + 3 = 0 та

11. Знайти

відстань між паралельними

10x − 4 y + 15 = 0 .

Написати рівняння прямої,

що знаходиться на однаковій

а) x2 − 9 y2 − 8x −18 y − 2 = 0 ;

б) 9x2 + 4 y2 − 36x + 8 y + 4 = 0 .

13. Скласти рівняння площини, яка

проходить

через точки A(4;1;2) і

B(1;−2;1) перпендикулярно до площини 3x − 2 y + z − 4 = 0 .

14. Задані точки

A(5;2;0);

B(2;5;7);

C(1;2;4). Записати: а) рівняння

площини, що проходить через ці точки;

б) обчислити відстань від точки

M (− 3;−6;−8) до цієї площини;

в) записати рівняння прямої,

яка проходить

через точку B перпендикулярно до площини; г)

рівняння

площини,

яка

проходить через точку

M паралельно до площини;

д) рівняння прямої,

яка

проходить через точки M і B .

15. Звести загальне рівняння прямої

x + 5 y − z − 5 = 0,

до канонічного

2x − 5 y + 2z + 5 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16. Знайти координати проекції

точки M (2;1; − 3)

на площину

17. Знайти: а) проекцію точки M (6; −1;3) на пряму

x − 3

=

y − 2

=

z −1

;

відстань від M до прямої; в) точку M ′ ,

3

1

− 3

б)

симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18. Двійки векторів

e1 (5; 1), e2 (1; 1)

та

e1 (11;

3), e2 (16; 4) утворюють в

просторі L2 базиси B та

B′

відповідно,

4

1

а A =

є матрицею оператора в

0

2

базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ; б) матрицю

′

′

.

A

оператора в базисі B

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

1

6

′

в базисі з

заданого матрицею A =

та записати відповідну матрицю A

2

2

власних векторів.

20. Квадратичну форму F ( x, y) = 7x2 + 2xy + 7 y 2 звести до канонічного

вигляду та знайти відповідне ортогональне перетворення.

21. Користуючись теорією квадратичних форм, звести до канонічного

вигляду рівняння лінії другого порядку

4xy + 4x − 4 y = 0 ,

визначити її тип,

а) 4z = x2 + y2 ;

б) 2x + y − 3z − 6 = 0 .

Варіант 3

3

5

1

- 2

6

3

4

1

- 2

0

7

1

3

1.

Обчислити визначники: а) D =

- 4

6

3

,

б) D =

0

0

4

0

0

.

2

1

- 3

7

5

2

1

3

3

4

3

0

2

2.

Знайти матрицю X з матричного рівняння A × X + B = A2 , якщо

1

4

− 3

− 13

A =

,

B =

.

1

− 3

4

15

3. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

− 3x1 + x2 + x3 = 3;

+ 3x2 + 2x3

= 7;

x1

x

+ 2x

2

− x

3

= 0.

1

4x1 + 3x2

+ 2x3

= 8;

4x1

+ 7x2

− 4 x3 + 3 x4

= −7;

5x − 2x

+ x

= −3;

2

3

1

− 4x2 + 3x3 − 2x4

= 5;

а)

x

+ 2x

+ 3x

= 7;

б) x1

6x − x

+ 2x − x = 3.

1

2

3

2x

+ 3x

+ 6x

= 12.

1

2

3

4

2

3

1

= 2

+

=

− 3

5. Знайти скалярний добуток векторів

і

,

косинус

b

b

m

a

n

a

кута

між

ними, пр

та напрямні

косинуси вектора

, якщо

b

m

b

= {2; 1; − 3},

= {1; 2; 2}.

b

a

6. Сили

= {1;−3;4},

= {− 2;5;−1},

прикладені

до

точки

F1

F2

F3 = {3;0;1}

A(− 2;1;−4).

Обчислити

роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при

переміщенні матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки

A до точки

B(1;4;−2).

= {− 2;1;−1},

7.

Знайти

момент

сили

прикладеної

до

точки

A(1;0;4),

F

площини, що проходить через ці точки; б) обчислити відстань

від точки

M (− 2;3;5) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить через

точку B перпендикулярно до площини; г) рівняння площини, яка проходить

через точку M паралельно до площини;

д) рівняння прямої,

яка проходить

через точки M і B .

2x − 3y + z + 6 = 0,

15. Звести загальне рівняння прямої

до канонічного

x − 3y + 2z + 3 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16. Знайти координати проекції

точки M (3; − 2;1)

на

площину

5

3

1

б)

відстань від M до прямої;

в) точку M ′ , симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18. Двійки векторів

e1 (4;

3), e2 (1; 5)

31) утворюють в

та e1 (5; 8),

e2 (13;

просторі L2 базиси B та

B′

відповідно, а

3

2

є матрицею оператора в

A =

2

1

базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ; б) матрицю

′

′

.

A

оператора в базисі B

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

5

0

′

в базисі з

заданого матрицею A =

та записати відповідну матрицю A

2

3

а) z = 6 - x2 - y2 ;

б) x + y = 2 .

Варіант 4

−1

1

5

3

0

1

1. Обчислити визначники: а) =

8

0

=

− 2

0

5

0

8

1

2

3

, б)

3

4

1

0

− 5

.

2

5

1

7

4

− 1

3

4

1

0

1

0

2

A =

1

5

,

8

4

B =

.

0

1

2

0

3. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

2x1 − 3x2 + x3 = 1;

+ 5x2

− 3x3 = 0;

x1

2x − x

2

+ 4x

3

= 9.

1

x1 + 2x2

- 3x3 = 3;

3x1 + 2x2 - x3 - 4x4 = 0;

+ 4x3 = 1;

2x1 - x2

- 3x2 + 4x3 + x4 = 3;

а)

3x1

+ x2

- x3 = 2;

б) x1

- 4x2 + 7x3 - 2x4 = 6.

3x

+ x

+ x

= 4.

5x1

2

3

1

5. Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

- 3

, косинус

b

b

m

a

n

a

кута між ними,

та напрямні

косинуси

вектора

, якщо

пр

b

m

b