Metodichka_liniyna_algebra

′

′

.

A

оператора в базисі B

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

заданого матрицею

7

4

′

в базисі з

A =

та записати відповідну матрицю

A

7

4

а) x2 + 16 y2 + 9z2 - 144 = 0 ;

б) y + x2

= 1.

Варіант 21

- 2

3

5

3

1

0

5

4

0

0

5

0

0

1. Обчислити визначники: а) D =

0

- 6

4

,

б) D =

- 4

9

1

5

8

.

1

1

7

3

4

- 5

0

7

7

0

3

2

- 2

3

1

2

1

A =

,

B =

.

- 8

- 3

- 4

-1

2x1

+ x3 = 1;

x1 + 3 x2

- x3 = 5;

- x1 + 2x2

+ x3 = 0.

x1 - 3x2

+ x3 = -3;

- 3x1 + x2

+ 2x3

+ 5x4 = 4;

+ x2 + 3x3

= 0;

2x1

+ 2x2

- 3x3

+ x4 = 2;

а)

+ x2

+ 2x3

= -2;

б) x1

- x1

+ 5x2

- 4x3

+ 7x4 = 8.

2x - x

+ 6x

= -5.

- x1

2

3

1

5.

Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

− 3

, косинус

b

b

m

a

n

a

кута

між

ними,

та

напрямні

косинуси

вектора

,

якщо

пр

b

m

b

= {5; 0; 3},

= {0; 1; 3}.

b

a

6.

Сили

= {− 3;4;−1},

= {4;1;5},

до

точки

F1

F2

F3 = {1;−1;2} прикладені

A(2;0;−1). Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при переміщенні

матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки B(4;1;2).

7.

Знайти

момент сили

= {− 3;4;7}, прикладеної

до точки

A(− 3;1;0),

F

відносно точки B(2;1;7).

8. Задано дві трійки векторів:

а)

e1 = {− 4; 1; 7},

2 = {1; −1; − 4},

e3 = {2; 1; 1};

e

б)

e1 = {1; 2; 3},

2 = {1; −1; − 2},

3 = {−1; 5; 4}.

e

e

Визначити,

яка з

трійок утворює базис та

обчислити

координати

вектора

= {0; 1; − 3} у цьому базисі.

a

9.

Точки

A1 (− 3;0;−6), A2 (−1;3;−2), A3 (− 3;−2;−5), A4 (− 2;2;−5) є вершинами

піраміди. Обчислити: а) площу

грані

A1 A2 A3 ; б) об'єм

піраміди;

в)

висоту

піраміди, проведену з вершини A4 .

10. Точки

A(− 3;5), B(4;12), C(1;0)

є вершинами трикутника ABC, а точки

P і Q ділять сторону AB цього трикутника,

починаючи з вершини A, на три

A ; г) обчислити довжину медіани AМ.

11.

Знайти

відстань між паралельними

прямими

7x + 6 y + 5 = 0 та

7x − 6 y + 12 = 0 .

Написати рівняння прямої, що знаходиться на однаковій

відстані від даних прямих.

12.

Звести задані рівняння кривих до канонічного вигляду, визначити їх

тип, знайти півосі, фокуси, ексцентриситет та рівняння директрис:

а) 25x2

− 4 y2 −100x − 8 y − 4 = 0 ;

б) 25x2

+ 4 y2 − 40 y = 0 .

через точку M паралельно до площини;

д) рівняння прямої,

яка проходить

через точки M і B .

2x + y + z − 2 = 0,

15.

Звести загальне рівняння прямої

до канонічного

2x − y − 3z + 5 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16.

Знайти координати проекції

точки M (1; −1; 4)

на площину

7

5

1

б)

відстань від M до прямої;

в) точку M ′ , симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18. Двійки векторів e1 (3; 1), e2 (1; 2)

утворюють в

та e1

(6; 7),

e2 (17; 19)

просторі L базиси B та B′

відповідно, а

3

1

є матрицею оператора в

A =

2

2

− 1

базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ; б) матрицю

′

′

.

A

оператора в базисі B

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

7

4

′

заданого матрицею A =

. та записати відповідну матрицю

A в базисі з

3

3

власних векторів.

F ( x, y) = 9x2 + 2xy + 9 y 2

20. Квадратичну форму

звести до канонічного

вигляду та знайти відповідне ортогональне перетворення.

21. Користуючись теорією квадратичних форм, звести до канонічного

вигляду рівняння лінії другого порядку 2x2 + 2 y2

− 4xy + x − 5 = 0 , визначити її

а) 4 y2 + z2 + x − 4 = 0 ;

б) y2 + 6 yz + 9z2 = 0 .

Варіант 22.

− 3

− 2

1

7

2

0

1. Обчислити визначники: а) =

1

7

б) =

0

− 3

2

1

3

3

6

4

,

7

0

− 5

7

0

.

− 4

− 5

5

1

7

2

3

0

5

3

0

8

0

− 2

− 2

,

−1

1

A =

− 9

5

B =

.

3

−1

3. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

x1 − x2 + x3 = 2;

+ x2

− x3 = 1;

2x1

2x + 5x

2

− 3x

3

= −1.

1

x1 + 4x2

− 3x3

= 5;

− 5x1 + 7x2 + 7x3 = 7;

1

− x

2

+ 5x

3

= 2;

3x

б) 3x1

+ x2

− x3 + 2x4 = 5;

а)

− x

+ 2x

+ 6x

=

1;

− x

+ 4x

+ 3x + x = 6.

1

2

3

3x + 5x

+ 8x

= 8.

1

2

3

4

2

3

1

5. Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

− 3

, косинус

b

b

m

a

n

a

кута між ними, пр

та напрямні косинуси вектора

,

якщо

= {1; − 1; 4},

b

m

a

b

= {3; − 2; 0}.

b

6. Сили

(1; − 3; 1),

F1

F2 (1; 4; 3), F3 (1; 1; −1) прикладені до точки A(2;−1;−3).

A ; г) обчислити довжину медіани AМ.

11. Знайти

відстань

між паралельними

прямими 2x − 5 y + 3 = 0 та

2x − 5 y − 9 = 0 .

Написати

рівняння прямої, що

знаходиться на однаковій

площини, що проходить через ці точки; б) обчислити відстань

від точки

M (− 5;−9;1) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить через

точку B перпендикулярно до площини; г) рівняння площини, яка проходить

через точку M паралельно до площини;

д) рівняння прямої,

яка проходить

через точки M і B .

x − 2 y + z − 4 = 0,

15.

Звести загальне рівняння прямої

до канонічного

2x + 2 y − z − 8 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16.

Знайти координати проекції

точки M (3; − 5;7)

на

площину

17. Знайти: а) проекцію точки M (3;2;7) на пряму

x + 4

=

y − 5

=

z − 8

;

точку M ′ ,

− 2

4

3

б) відстань від M до прямої; в)

симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18. Двійки векторів

e1 (1; 4),

e2 (3; 1) та

20)

утворюють в

e1 (10; 7),

e2 (27;

просторі L2 базиси B та

B′

1

− 2

є матрицею оператора в

відповідно, а A =

3

2

базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ; б) матрицю

A′ оператора в базисі B′ .

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

8

5

′

заданого матрицею A =

. та записати відповідну матрицю

A в базисі з

5

8

а) x2 + y2 −

z2

= 0 ;

б) 5x − 3y − 6z − 30 = 0 .

9

Варіант 23.

− 3

− 3

− 6

3

4

4

5

1

=

=

1

6

2

0

2

1. Обчислити визначники: а)

5

1

0

, б)

7

5

8

6

1

.

7

− 2

3

1

0

0

0

0

5

− 2

5

7

9

2. Знайти матрицю X з матричного рівнянння X × B + A = B2 , якщо

3

− 1

− 2

1

A =

− 4

4

,

B =

1

.

−1

3. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

2x1 + x2 − 3x3 = 0;

2x1 − x2 + 2x3 = 3;

− 3x + 2x

2

− x

3

= −2.

1

6x1 - 3x2

+ x3 = 8;

6x1 + 2 x2 + x3 = 2;

+ 5x2 -

3x3 = -5;

x1

+ 2x3 + x4 = 3;

а)

4x3

= 10;

б) x1 - 3x2

2x1 - x2 +

- 4x2

+ 5x3 + 2x4 = 8.

3x

+ 4x

+ x

= 5.

8x1

2

3

1

5. Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

- 3

, косинус

b

b

m

a

n

a

кута між ними,

та напрямні

косинуси вектора

, якщо

пр

b

m

b

матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки B(2;3;5).

7.

Знайти

момент сили

= {5;−1;−3},

прикладеної

до

точки

A(2;0;7),

F

відносно точки B(3;8;−9).

8. Задано дві трійки векторів:

а)

e1 = {2; 1; − 4},

2 = {1; − 1;1},

3 = {1; − 4; 7};

e

e

б)

e1 = {3; −1; 1},

2 = {−1; 5; − 3},

3 = {2; − 4; 3}.

e

e

Визначити, яка

з трійок утворює базис та

обчислити

координати

вектора

= {3; 7; − 4} у цьому базисі.

a

9.

Точки

A1 (−1;−2;−3), A2 (2;0;0), A3 (− 3;−2;−5), A4 (4;0;0)

є вершинами

піраміди. Обчислити: а) площу грані A1 A2 A3 ; б) об'єм

піраміди; в) висоту

піраміди, проведену з вершини A4 .

10.

Точки

A(− 8;−6), B(1;8), C(−1;−2) є

вершинами

трикутника

ABC,

а

точки P і Q ділять сторону AB цього трикутника, починаючи з вершини

A,

A ; г) обчислити довжину медіани AМ.

прямими 13x − 7 y + 12 = 0 та

11. Знайти відстань між паралельними

13x − 7 y − 5 = 0 . Написати рівняння прямої,

що знаходиться на однаковій

16.

Знайти координати

проекції

точки

M (−5;0; 4)

на

площину

3x + 2 y − 4z + 2 = 0

та координати точки

M ′ , симетричної точці

M відносно

цієї площини.

x − 2

y + 2

z − 8

17. Знайти: а) проекцію точки M (−7;0;3) на пряму

=

=

;

точку M ′ ,

1

− 2

3

б) відстань від M до прямої; в)

симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18. Двійки векторів e1 (1;

5),

e2 (4; 1)

та

утворюють в

e1 (13; 8),

e2 (35; 23)

просторі

L базиси

B та B′

відповідно,

1

2

є матрицею оператора в

а A =

2

3

5

базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ; б) матрицю

′

′

.

A оператора в базисі B

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

заданого матрицею

5

1

′

в базисі з

A =

. та записати відповідну матрицю

A

5

1

власних векторів.

F (x, y) = x2 − 6xy + y2

20.

Квадратичну форму

звести

до

канонічного

а) x2 + y2 − 9z = 0 ;

б) x + y + z = 7 .

Варіант 24.

− 5

0

3

4

7

2

5

7

0

− 1

2

0

5

1. Обчислити визначники: а) =

− 3

4

5

,

б) =

0

9

7

3

− 1

.

6

3

1

3

3

2

5

0

0

5

0

5

− 2

2.

Знайти матрицю X з матричного рівняння X × B + A = B2 , якщо

5

- 7

- 2

1

A =

,

B =

.

- 3

6

- 2

1

3.

Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

x + 2x

− 3x

= 1;

1

2

3

2x1 − x2 + 4x3 = 7;

3x

+ x

2

− x

3

= 6.

1

7x1 − x2

− 3x3

= 2;

3x1 + 5 x2 + 2x3

− 3x4 = −4;

x

− 3x

+ x

= −4;

2

3

1

x1 − 4x2 + x3

+ 2x4 = 5;

а)

4x

+ 2x

+ 3x

= 11;

б)

5x − 3x + 4x

+ x = 6.

1

2

3

12x − 2x

+ x

= 9.

1

2

3

4

2

3

1

5.

Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

− 3

, косинус

b

b

m

a

n

a

кута між ними,

та напрямні косинуси вектора

,

якщо

= {2; − 3; 1},

пр

b

m

a

b

= {1; 2; 0}.

b

6.

Сили

= {− 2;1;−3},

до

точки

F1

F2 = {3;2;5}, F3 = {2;−1;−1} прикладені

A(2;−1;3). Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при переміщенні

матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки B(3;2;5).

7.

Знайти

момент сили

= {2;−1;4}, прикладеної

до точки

A(4;−2;1),

F

відносно точки B(1;0;−3).

8. Задано дві трійки векторів:

а)

e1 = {3; 2; 3},

2 = {0; 1; 3},

3 = {4; 3; 5};

e

e