Metodichka_liniyna_algebra

а) 16x2 + y 2 − 32x + 10 y + 25 = 0 ;

б) y2 − 14x − 4 y + 18 = 0 .

13. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки

A(5;3;−2) і

B(5;1;0) перпендикулярно до площини 3x − 3y + z − 6 = 0 .

14. Задані

точки A(1;3;6); B(2;2;1);

C(− 1;0;1). Записати: а) рівняння

площини, що проходить через ці точки; б) обчислити відстань

від точки

M (5;−4;5) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить через

точку B перпендикулярно до площини; г) рівняння площини, яка проходить

через точку M паралельно до площини;

д) рівняння прямої,

яка проходить

через точки M і B .

4x + y + z + 2 = 0,

15. Звести загальне рівняння прямої

до канонічного

2x − y − 3z − 8 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16. Знайти

координати проекції

точки M (6; −1;5)

на

площину

17. Знайти: а) проекцію точки M (3; − 3;4) на пряму

x − 5

=

y + 2

=

z + 1

;

3

− 1

1

б)

відстань від M до прямої; в) точку M ′ , симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18.

Двійки векторів

e1 (1; 1), e2 (1; 3)

утворюють в

та e1

(3; 7), e2 (5; 11)

просторі

L2 базиси B та

B′

відповідно, а

1

5

A =

є матрицею оператора в

4

1

базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ; б) матрицю

′

′

.

A

оператора в базисі B

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

3

− 2

′

заданого матрицею A =

та записати відповідну матрицю

A в базисі

− 2

3

− 6

8

6

−1

0

0

1

1

2

0

3

− 1

3

1. Обчислити визначники: а) =

−1

4

0

, б)

=

1

− 5

9

0

− 7

.

− 3

2

7

0

1

7

0

0

5

3

2

0

7

1

2

1

5

A =

,

B =

.

1

− 1

1

3

3x1 + 2x2 - x3 = 4;

2x1 + x2 - x3 + 2x4 = 8;

x1 + 2x2 - 5x3 = -2;

- 2x2 + x3 + x4 = 5;

а)

2x1 - x2 + 4x3 = 5;

б) x1

- 3x2 - x3 + 4x4

= 18.

6x + 3x

- 2x

= 7.

4x1

2

3

1

5. Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

− 3

,

косинус

b

b

m

a

n

a

кута

між

ними,

та напрямні

косинуси

вектора

, якщо

пр

b

m

b

= {-3; - 2; -1},

= {0; 4; 4}.

b

a

6. Сили

= {7;1;6},

прикладені

до

точки

F1

F2 = {− 2;3;−1}, F3 = {− 1;1;−2}

A(− 1;2;1). Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при переміщенні

матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки B(3;3;4).

7.

Знайти

момент

сили

= {1;-3;2},

прикладеної

до точки

A(2;0;1),

F

відносно точки B(− 3;−1;4).

8. Задано дві трійки векторів:

а)

e1 = {2; 1; 7},

2 = {1; 1; 1},

e3 = {0; − 1; 5};

e

б)

e1 = {1; 2; 4},

2 = {3; − 1; 2},

e3 = {3; − 4; 1}.

e

Визначити,

яка

з

трійок утворює базис та

обчислити

координати

вектора

площини, що проходить через ці точки; б) обчислити відстань

від точки

M (3;6;15) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить через

точку B перпендикулярно до площини; г) рівняння площини,

яка проходить

через точку M паралельно до площини;

д) рівняння прямої,

яка проходить

через точки M і B .

x − 3y + z + 2 = 0, до канонічного

15. Звести загальне рівняння прямої

x + 3y + 2z + 14 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16.

Знайти

координати

проекції

точки M (−2;5;7)

на

площину

3x − y − 2z + 11 = 0

та координати точки

M ′ , симетричної точці M відносно

цієї площини.

x − 2

y − 2

z + 1

17. Знайти: а) проекцію точки M (7; −1; − 6) на пряму

=

=

;

в) точку M ′ ,

4

−1

1

б) відстань від M до прямої;

симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18.

Двійки векторів

e1 (3; 1), e2 (1; 2)

утворюють в

та e1 (5; 5), e2 (9; 8)

просторі

L2 базиси B та

B′ відповідно,

а

1

3

A =

є матрицею оператора в

5

1

′

′

.

A

оператора в базисі B

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

заданого матрицею

1

4

′

в базисі з

A =

та записати відповідну матрицю

A

1

1

а) 9x2 - y2 - z2 = 0 ;

б) x2 + 16 y2 = 16 .

Варіант 14

3

4

- 1

8

0

8

9

5

- 2

0

4

- 5

5

1. Обчислити визначники: а) D =

- 3

1

2

, б) D =

4

0

7

0

4

.

0

4

- 3

1

0

4

2

7

0

0

- 3

4

3

2.

Знайти матрицю X з матричного рівняння A × X + B = A2 , якщо

2

1

- 4

4

A =

,

B =

.

1

-1

- 2

- 4

3.

Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

- 3x1 + 6x2 + x3 = -4;

x1 + 2x2 - 3x3

= 1;

3x1 + x2

- x3 - x4 = -4;

+ 2x2 + 2x3

= 2;

- x1

- 3x2

+ 2x3

+ 2x4 = 5;

а)

2x1

- 3x2 - x3

= 0;

б) x1

- 5x2

+ 3x3

+ 3x4 = 6.

2x

+ x

- 2x

= 3.

5x1

2

3

1

5. Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

− 3

,

косинус

b

b

m

a

n

a

кута між ними,

та напрямні косинуси вектора

,

якщо

= {− 5; 2; 1},

пр

b

m

a

b

= {0; 3; 1}.

b

6. Сили

= {− 3;1;4},

= {1;3;−1},

прикладені

до

точки

F1

F2

F3 = {0;−1;−1}

A(2;4;1). Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при переміщенні

матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки B(3;5;2).

7. Знайти

момент сили

= {5;4;7}, прикладеної до точки

A(− 3;1;0),

F

10. Точки A(−1;5), B(6;−2), C(− 3;−2) є вершинами трикутника ABC,

а

точки P і Q ділять сторону AB цього трикутника, починаючи з вершини

A,

точку Q паралельно до сторони AC ; в) рівняння висоти, опущеної з вершини

A ; г) обчислити довжину медіани AМ.

11. Знайти

відстань

між паралельними прямими 5x + 3y + 5 = 0 та

5x + 3y − 7 = 0 .

Написати

рівняння прямої, що знаходиться на однаковій

відстані від даних прямих.

12.

Звести задані рівняння кривих до канонічного вигляду, визначити їх

тип, знайти півосі, фокуси, ексцентриситет та рівняння директрис:

а) y2 − 16x + 4 y + 36 = 0 ;

б) 25x2 − 16 y2 − 100x − 32 y − 316 = 0 .

13.

Скласти рівняння площини, яка проходить через точки A(1;0;−3) і

B(4;2;1) перпендикулярно до площини 2x + 3y + 4z − 9 = 0 .

14.

Задані точки A(2;−4;3); B(5;−6;0); C(− 1;3;−3). Записати: а) рівняння

площини, що проходить через ці

точки; б) обчислити відстань від точки

M (2;1;8)

до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить через

15. Звести загальне рівняння прямої

6x − 7 y − z − 2 = 0,

до канонічного

x + 7 y − 4z − 5 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16. Знайти координати проекції

точки M (4; − 3;1)

на площину

17. Знайти: а) проекцію точки M (5; − 3;8) на пряму

x −1

=

y − 3

=

z

;

−1

6

1

б) відстань від M до прямої;

в) точку M ′ , симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18.

Двійки векторів

e1 (0;

2), e2 (3; 1)

та e1 (3;

5), e2 (9; 17) утворюють в

просторі

L2 базиси B та

B′

відповідно, а

1 0

A =

є матрицею оператора в

5 6

базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ; б) матрицю

A′ оператора в базисі B′ .

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

- 2

-1

′

заданого матрицею A =

та записати відповідну матрицю

A в базисі

-1

- 2

а) 9x2 + 9 y2 = z2 ;

б) xy = 4 .

Варіант 15

1

0

1

3

0

1

0

2

- 7

1

2

5

6

1.

Обчислити визначники: а) D =

- 5

- 4

6

, б) D =

0

0

0

0

9

.

1

3

3

1

4

- 3

- 8

6

5

8

0

1

0

2.

Знайти матрицю X з матричного рівняння A × X + B = A2 , якщо

0

1

1

− 4

A =

,

B =

.

− 13

20

2

− 5

− x1 + 2x2 + 13x3 = −3;

− x2

+ x3 = 3;

2x1

3x + 5x

2

− x

3

= −2.

1

2x1

− x2 + 3x3 = −5;

x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 8;

1

+ 3x

2

+

3

= 2;

x

x

б) x1 − 8x2 + x3 + 3 x4 = −3;

а)

x

− x

+ 4x

= −8;

3x + 2x

+ 3x

− x

= 13.

1

2

3

2

3

4

4x

+ x

+ 8x

= −11.

1

2

3

1

5. Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

− 3

, косинус

b

b

m

a

n

a

кута між

ними,

та

напрямні

косинуси

вектора

,

якщо

пр

b

m

b

= {1; 0; 3},

= {− 1; 2; 4}.

b

a

6. Сили

= {− 1;0;4},

= {2;1;−1},

прикладені

до

точки

F1

F2

F3 = {1;3;−1}

A(− 1;−1;1). Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при

переміщенні матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки

A до точки

B(3;1;1).

7.

Знайти

момент сили

= {1;5;3}, прикладеної

до точки

A(2;4;−5),

F

відносно точки B(1;−1;0).

8. Задано дві трійки векторів:

а)

e1 = {3; 5; 0},

2 = {1; 3; 2},

3 = {1; − 1; − 4};

e

e

б)

e1 = {2; 1; 3},

2 = {3; − 2; −1},

3 = {0; −1; − 5}.

e

e

Визначити,

яка

з

трійок

утворює базис та

обчислити

координати вектора

= {5; − 2; − 3} у цьому базисі.

a

9.

Точки

A1 (−1;−1;−6), A2 (5;1;0), A3 (− 4;0;0), A4 (− 2;−2;−5)

є

вершинами

піраміди. Обчислити: а)

площу

грані

A1 A2 A3 ; б)

об'єм

піраміди;

в)

висоту

піраміди, проведену з вершини A4 .

10. Точки A(− 9;1), B(5;8), C(− 2;9)

є вершинами трикутника ABC, а точки

P і Q ділять сторону AB цього трикутника,

починаючи з вершини A,

на три

частини

так, що

кожна

наступна частина

вдвічі коротша

за

попередню.

площини, що проходить через ці точки; б) обчислити відстань

від точки

M (− 3;2;7) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить через

точку B перпендикулярно до площини;

г) рівняння площини, яка проходить

через точку

M паралельно до площини;

д) рівняння прямої,

яка проходить

через точки M і B .

x + 5 y + 2z − 5 = 0, до канонічного

15. Звести загальне рівняння прямої

2x − 5 y − z + 5 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16.

Знайти

координати

проекції

точки M (0;5; − 3)

на

площину

3x − 2 y + 2z −1 = 0

та координати точки

M ′ , симетричної точці M відносно

цієї площини.

x − 2

y + 3

z − 5

17. Знайти: а) проекцію точки M (9; − 7;6) на пряму

=

=

;

1

1

− 3

б) відстань від M до прямої;

в) точку M ′ , симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18.

Двійки векторів e1 (0;

3), e2 (2;

утворюють в

5) та e1 (2; 1),

e2 (6; 36)

просторі L2

базиси B та B′ відповідно,

а

− 3

2

є матрицею оператора

A =

1

− 2

до B′ ; б)

в базисі

B .

Визначити: а) матрицю H

переходу від

базису

B

заданого матрицею

1

4

′

в базисі з

A =

та записати відповідну матрицю

A

2

3

а) x2 + 4 y2 + 16z2 - 64 = 0 ;

б) x + z = 3.

Варіант 16

− 6

1

− 2

4

0

2

4

0

1. Обчислити визначники: а) =

=

3

0

5

4

0

3

9

8

, б)

4

1

3

1

0

.

− 1

2

1

− 7

5

0

− 1

0

7

4

− 3

8

5

3

− 1

− 3

1

A =

,

B =

.

0

6

− 3

1

− 4x1 + 3x2 + 2x3 = 4;

5x1

− 2x2

+ x3 = −5;

x

+ 2x

2

+ 3x

3

= 1.

1