Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Metodichka_liniyna_algebra

.pdf

Скачиваний:

131

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

1.04 Mб

Скачать

☆

1 / 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА ТА АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНОЇ РОБОТИ ДЛЯ СТУДЕНТІВ ІНЖЕНЕРНО-ТЕХНІЧНИХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ

Затверджено на засіданні кафедри вищої математики Протокол № 9 від 19.05.2014 р.

Львів 2014

Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Завдання та методичні вказівки до розрахунково-графічної роботи для студентів інженерно-технічних спеціальностей / Укл.: І.В. Андрусяк, Д.М. Білонога, О.Я. Бродяк, У.В. Жидик, І.П. Кшановський, О.М. М’яус, Т.М. Сало, М.І. Сорокатий. – Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2014. − 96 с.

Укладачі	Андрусяк І.В., канд. фіз.-мат. наук, ст. викл,
	Білонога Д.М., канд. фіз.-мат. наук, доц.,
	Бродяк О.Я., канд. фіз.-мат. наук, доц.,
	Жидик У.В., канд. фіз.-мат. наук, доц.,
	Кшановський І.П., канд. фіз.-мат. наук, доц.,
	М’яус О.М., канд. фіз.-мат. наук, ст. викл,
	Сало Т.М., канд. фіз.-мат. наук, доц.,
	Сорокатий М.І., канд. фіз.-мат. наук, доц.
Відповідальний	Олексів І.Я., канд. фіз.-мат. наук, доц.
за випуск

Рецензент

Сухорольський М.А., д-р. фіз.-мат. наук, проф.

Зразок виконання завдань розрахунково-графічної роботи

Завдання 1. Обчислити визначники:

												0	1		0			- 2	2
												0	1		0			- 2	2
					1	2	6					2	4		- 4			4	1
					1	2	6					2	4		- 4			4	1
				а) D =	4 -1 0			,		б) D =		2 - 3			2			2	2	.
					1	2	5					5	1		1			8	- 5
												0	- 2		0			0	0
																	1	2	6
																	1	2	6
		Розв’язання. а)				Обчислимо					визначник				D =		4	-1	0		за правилом
																	1	2	5
трикутника:
	1	2	6	= 1× (- 1)× 5 + 4 × 2 × 6 + 2 × 0 ×1 - (1× (- 1)× 6 + 1× 2 × 0 + 4 × 2 × 5)= 43 - 34 = 9 .
	1	2	6
	4 -1 0
	1	2	5
		б) Розкладемо визначник за п’ятим рядком
									0	0	- 2		2			0		0	- 2		2
									0	0	- 2		2			0		0	- 2		2
				D = (-2)(-1)5+2 ×					2	- 4	4		1	= 2 ×		2		- 4	4		1	.
									2	2	2		2			2		2	2		2
									5	1	8		- 5			5		1	8		- 5

Винесемо із першого і третього рядка множник 2 .

	0	0	-1	1
	0	0	-1	1
D = 2 × 2 ×2 ×	2	- 4	4	1	.
	1	1	1	1
	5	1	8	- 5

Розкладемо тепер визначник за елементами першого рядка.

			2	- 4	1		2	- 4	4
			2	- 4	1		2	- 4	4
	×(-1)1+3	×				+ (-1)1+4 ×				=
D = 8 × (-1)	×(-1)1+3	×	1	1	1	+ (-1)1+4 ×	1	1	1	=
			5	1	- 5		5	1	8
			5	1	- 5		5	1	8

		2	- 4	1		2	- 4	4
		2	- 4	1		2	- 4	4
	-				-
= 8 ×	-	1	1	1	-	1	1	1	.
		5	1	- 5		5	1	8
		5	1	- 5		5	1	8

Обчисливши визначники третього порядку, отримаємо

D = 8 ×(56 -10) = 368.

Завдання 2. Знайти матрицю

з матричного

рівняння A × X + B = A2 ,

− 4

B =

якщо A =

− 1

Розв’язок має вигляд: X = A−1 ( A2 − B) .

Розв’язання. Маємо AX = A2

− B.

Обчислимо A2

− B =

− 4

− 4 1

−

17 1

− 2

− 5

− 1

−1

− 1 0

−1

− 2

A−1 =

, тому

− 4

0 − 1

− 2 − 5

X =

− 4

− 1 − 2

x1 + 2x2 + 2x3					= 15;
Завдання 3. Розв’язати систему	2x1 + x2 − 2x3				= 6; лінійних алгебраїчних
	2x − 2x	2	+ x	3	= 9
	1	2		3

рівнянь трьома способами: а) методом Крамера; б) методом Гаусса; в) матричним методом.

Розв’язання. а) Метод Крамера. Знаходимо визначник системи

										1	2	2
								=		2	1	− 2		= −27.
										2	− 2	1
Обчислюємо
	15	2	2							1	15	2						1		2	15
	15	2	2							1	15	2						1		2	15
1 =	6	1	− 2	= −135;				2 =		2	6	− 2	= −54;			3 =		2		1	6	= −81.
	9 − 2 1									2 9		1						2 − 2 9
За правилом Крамера x							=	i	,	i = 1,2,3, тобто
За правилом Крамера x						i	=		,	i = 1,2,3, тобто
						i
				x = −135			= 5;			x	= −54 = 2;				x	=	−81		= 3.
				x = −135			= 5;			x	= −54 = 2;				x	=			= 3.
			1		−27					2	−27				3		−27
					−27						−27						−27
Відповідь: x1 = 5; x2 = 2; x3								= 3 .
б) Метод Гаусса.
Зведемо розширену матрицю до східчастого виду:
												.

1 2			2	15	1 2			2	15	1 2			2	15
			- 2				- 3	- 6				- 3	- 6
2		1		6 ~ 0					- 24 ~ 0					- 24 .
	2	- 2	1	9		0	- 6				0	0	9	27
								- 3	- 21

Запишемо систему, яка відповідає східчастій матриці

x1 + 2x2		+ 2x3 = 15;
- 3x2 - 6x3 = -24;
	9x3	= 27;

і є еквівалентною до початкової системи.
З останнього рівняння обчислимо x3								= 3; з другого рівняння знайдемо x2 :
− 3x2 = −6 ; x2 = 2 . А тепер, з першого рівняння x1														= 5.
в) Матричний спосіб. Запишемо задану систему рівнянь у вигляді
матричного рівняння:
1	2		2 x1				15
																A× X = B.
2	1	- 2 x2				=		6 ,			тобто					A× X = B.

2	- 2 1 x3							9
Розв’язок цього рівняння
Знайдемо A−1.					X = A−1 × B.
Знайдемо A−1.
					1				2			2

						9			9		9
						9			9		9
			A−1 =			2			1		-		2	.
			A−1 =			9			9		-			.
						9			9		9
						2	-		2		1

									9		9
					9				9		9
Тому
			1	1		2				2 15						5
			1
	X =			2		1		- 2			× 6				=	2 .
	X =		9	2		1		- 2			× 6				=	2 .
			9		- 2
				2	- 2					1 9						3

Завдання 4.	Дослідити системи	лінійних	рівнянь на сумісність та
розв’язати їх у випадку сумісності:
	x1 + 3x3 + x4 = 6;	2x1 + 3x2 − 4x3 = 1;
					+ 5x3 = 4;
	2x1 - x2 + x3 + x4 = 5;	x1 − 2x2
а)		б)	3x + 2x			+ x			= 6;
					2			3
			1
7x1 + 2x2 - 3x3 + 2x4 = 10;			3x + x		+ x			= 11.
				2			3
			1

Розв’язання. а) Випишемо розширену матрицю системи і зведемо її до східчастого вигляду

	1 0			3	1	6			1 0					3								1						6			1		0	3		1		6
~		−1 1			1					−1				− 5 −									1				−						−1 − 5 −1
A = 2		−1 1			1	5 ~ 0				−1				− 5 −									1				−		7 ~ 0				−1 − 5 −1					− 7 .
				− 3	2	10						− 24 −																					0 − 34 −
	7 2			− 3	2	10			0 2			− 24 −											5		− 32						0		0 − 34 −				7	− 46
	7 2								0 2														5		− 32						0		матриць.				7	− 46
Знайдемо				ранги				основної						та						розширеної													матриць.			Оскільки
	~				то система сумісна. Вона має безліч розв’язків,																																бо ранг
rang A = rang A = 3 ,					то система сумісна. Вона має безліч розв’язків,																																бо ранг
менший, ніж кількість невідомих. Запишемо відповідну систему
										x + 3x									+ x				= 6;
											1							3				4
										x2 + 5x3 + x4 = 7;
													3	+ 7x						4	= 46.
										34x				+ 7x							= 46.
За базові невідомі виберемо x1 , x2														і x3 , а невідому x4																			за вільну. Отримаємо
										x		=			66 −13x4													,
										x		=																,
										1									34
																			34
																	8 + x4
																	8 + x4
										x2 =														,
										x2 =									34					,
																			34
													=			46 − 7x4
										x3						46 − 7x4											,
										x3																	,
																			34
										x			= x ,
де x4 R .										4								4
де x4 R .
б) Зведемо до східчастого вигляду розширену матрицю системи
			2		3 − 4				1	1				− 2								5				4					1		− 2 5		4
			2		3 − 4				1	1				− 2								5				4					1		− 2 5		4
					− 2 5									7 −14												−							1 − 2
		~ 1			− 2 5				4	0				7 −14												−			7		0		1 − 2		−1
		A	=						~					8 −14												−				~						.
				3	2		1		6		0			8 −14												−			6			0	0	1	1
				3	1		1		11		0			7 −14												−1						0	0	0	6
					~

Бачимо,							= 4 , а			rang A = 3.														Отже,							за теоремою Кронекера-
Бачимо,			що rang A				= 4 , а			rang A = 3.														Отже,							за теоремою Кронекера-

Капеллі система несумісна.

Завдання 5. Знайти скалярний добуток векторів m = 2a + b і n = a − 3b , косинус кута між ними, прb m та напрямні косинуси вектора b , якщо a (3;−4) ; b (−1;−2) .

Розв’язання. Обчислимо координати векторів m та n , використовуючи властивості додавання векторів та множення вектора на число. Тоді m = 2(3;−4)+ (−1;−2) = (5;−10), а n = (3;−4)− 3(−1;−2) = (6;2). Скалярний добуток:

m × n = 5 ×6 -10 ×2 = 10 .

Нехай ϕ − кут між векторами m та n . Тоді

cos ϕ =

125 ×

40 5

Визначимо довжину вектора

1 + 4

5 . Обчислюємо проекцію

вектора

на вектор

5 × (-1) -

10 × (- 2)

= 3

пр

Нехай вектор

утворює з координатними осями Oх та Oу кути

α і b

відповідно. Тоді напрямні косинуси вектора

cos a =

-1

cosb =

- 2

;

Завдання 6.

Сили

(2;-4;4),

F2 (- 3;2;1),

F3 (2;3;-1)

прикладені

до

точки

A(0;1;3). Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при переміщенні

матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки B(1;2;5).

Розв’язання.

Спочатку

знайдемо

рівнодійну

заданих

сил:

F3 = (1;1;4) та вектор переміщення

(1;1;2). Робота, яку виконує

F2 +

рівнодійна заданих сил: A =

= 10 .

Завдання 7.

Знайти момент

сили

(5;2;7),

прикладеної

до

точки

A(2;1;−3), відносно точки B(4;2;5).

Розв’язання. Знайдемо спочатку вектор

(- 2;-1;-8), а потім момент

сили:

= 9i - 26 j + k = (9;-26;1) .

B (

) =

-2

-1

-8

Завдання 8. Задано дві трійки векторів:

а)

e1(1; −1;5),

e2 (5;1;−1),

e3 (−2; −1;3) ;

б)

e2 (2;3;−1),

e3 (−1;1; −1) .

e1(1; 2;1),

Визначити, яка з трійок утворює базис та обчислити координати вектора a (-3;-1;3) у цьому базисі.

Розв’язання. Три некомпланарні вектори утворюють базис в просторі. Умовою компланарності векторів є рівність нулеві мішаного добутку цих векторів. Тому із двох трійок векторів a) і б) потрібно вибрати ту, де мішаний добуток відмінний від нуля.

-1

а) (

2 ,

3 ) =

-1

= 0 .

e1 ,

- 2

-1

б) (

2 ,

3 ) =

3 -1

= 9 ¹ 0 .

e1 ,

-1 1 -1

Отже базис утворює трійка векторів б). Запишемо розклад вектора

за

базисом

e1 , e2 , e3 :

= λ1

e1 + λ2

2 + λ3

3 .

λ1 , λ2 , λ3 є координатами вектора

в базисі

2 ,

3 .

Для їхнього

e1 ,

знаходження запишемо цю рівність покомпонентно.

− 3 = λ1 + 2λ2 − λ3 ;

−1 = 2λ1 + 3λ2 + λ3 ;

3 = λ1

− λ2 − λ3.

Розв’язавши цю систему рівнянь, наприклад за методом Крамера,

отримаємо

λ1 = 2; λ2 = −2; λ3 = 1.

Таким чином розклад вектора

за базисом

2 ,

має вигляд

e1 ,

= 2

e1 − 2

2 +

e3 .

Завдання 9. Точки A1 (1;2;3), A2 (− 2;4;1), A3 (7;6;3), A4 (4;−3;−1) є вершинами

піраміди. Обчислити:

а)

площу

грані

A1 A2 A3 ; б)

об'єм піраміди; в) висоту

піраміди, проведену з вершини A4 .

Розв’язання. Сформуємо вектори

A1 A2

A1 A3

A1 A4

(−2 − 1;4 - 2;1 - 3) = (−3;2;−2) ;

(7 − 1;6 − 2;1 − 3) = (6;4;0) ;

A1 A2

A1 A3

= (4 − 1;−3 − 2;−1 − 3) = (3;−5;−4) .

A1 A4

Площу

грані A1 A2 A3 можемо

розглядати

як

площу

трикутника,

побудованого на векторах

A1 A2

A1 A3

S= 1 A1 A2 ´ A1 A3 . 2

Тому, спочатку знаходимо векторний добуток


				i		j	k
	´		=	- 3	2		- 2	= 8i -12 j - 24k ,
A1 A2	´	A1 A3	=	- 3	2		- 2	= 8i -12 j - 24k ,
				6	4		0

обчислюємо

його

довжину

82 + (-12)2 + (- 24)2

= 28 ,

звідки

A1 A2

A1 A3

шукана площа грані SA A A =14.

За допомогою мішаного добутку векторів:

- 3

- 2

= 180 ,

(

A1 A2

A1 A3

A1 A4

) =

- 5

- 4

знаходимо об'єм піраміди :

A A

)|=30.

піраміди

З іншого боку,

Vпіраміди

Sоснови × H ,

де Sоснови − площа грані A1 A2 A3 , а Н − висота піраміди, проведена з вершини A4 ,

яку потрібно відшукати. Тому H =

3×Vпіраміди

= 6

Sоснови

Завдання 10.

Точки A(− 5;5), B(9;−2), C(5;11)

є вершинами трикутника

ABC, а точки P і Q ділять сторону AB цього

трикутника,

починаючи з

вершини A,

на три частини так, що кожна наступна частина вдвічі коротша за

попередню. Написати: а) рівняння прямої CP ; б) рівняння прямої, що

проходить через точку

Q паралельно до сторони AC ;

в) рівняння висоти,

опущеної з вершини A ;

г) обчислити довжину медіани AМ .

Розв’язання. Для знаходження координат точок P і Q

схематично

зобразимо відрізок AB :

За умовою відрізок PQ вдвічі коротший за відрізок AB, а QB вдвічі

коротший за PQ.

Позначимо довжину відрізка QB через

x ,

тоді довжина

відрізка PQ

дорівнює 2х, а довжина відрізка АP дорівнює 4х. Тому

| AP |

= lP =

тобто

| PB |

точка P ділить відрізок АВ у відношенні	4	. Знаходимо координати точки

3
P :

xA + lxB

- 5 +

× 9

yA + lyB

5 +

× (-2)

xP =

= 3;

yP =

= 1.

1 + l

1 +

1 + l

1 +

Отже, точка P(3;1) .

Для знаходження координат точки Q обчислюємо спочатку відношення

| AQ |

= lQ = 6 .

Точка

ділить

відрізок АВ у відношенні 6:1.

Знаходимо

| QB |

координати точки Q:

yA + λyB

xQ =

xA + lxB

= - 5 + 6 × 9 = 7 ; yQ

5 + 6 × (-2)

= -1.

1 + l

1 + 6

1 + l

1 + 6

Отже, точка Q(7;−1) .

а) Рівняння прямої CP запишемо, як рівняння прямої, що проходить через

дві задані точки

x − xC

y − yC

yP − yC

xP − xC

x − 5

y − 11

3 − 5

1 − 11

або, після перетворень, 5x − y − 14 = 0 .

б) Щоб записати рівняння прямої, що проходить через точку Q

AC , знайдемо

спочатку вектор

(10;6), який є

паралельно до

сторони

напрямним вектором цієї прямої,

і запишемо канонічне рівняння прямої на

площині вигляду x − xQ = y − yQ :

x − 7 = y + 1 , або, після перетворень, 3x − 5 y − 26 = 0 .

10	6
в) Для того,	щоб записати рівняння висоти, опущеної з вершини A
знайдемо вектор			(- 4;13) та запишемо загальне рівняння прямої:
		BC