Metodichka_liniyna_algebra

7. Знайти момент сили F = {1;−3;7}, прикладеної до точки A(1;2;3),

відносно точки B(7;5;5).

8. Задано дві трійки векторів:

а) e1 = {4; − 3; 5}, e2 = {2; 1; − 3}, e3 = {−1; 2; − 2};

б) e1 = {3; 2; 5}, e2 = {1; 0; −1}, e3 = {5; 2; 3}.

Визначити, яка з трійок утворює базис та обчислити координати вектора

a= {− 1; 2; 2} у цьому базисі.

9.Точки A1 (− 2;1;0), A2 (3;2;7), A3 (2;2;5), A4 (6;1;5) є вершинами піраміди.

Обчислити: а) площу грані A1 A2 A3 ; б) об'єм піраміди; в) висоту піраміди, проведену з вершини A4 .

10. Точки A(− 8;−2), B(6;−9), C(1;0) є вершинами трикутника ABC, а точки P і Q ділять сторону AB цього трикутника, починаючи з вершини A, на три частини так, що кожна наступна частина вдвічі коротша за попередню. Написати: а) рівняння прямої CP ; б) рівняння прямої, що проходить через точку Q паралельно до сторони AC ; в) рівняння висоти, опущеної з вершини A ; г) обчислити довжину медіани AМ.

відстані від даних прямих.

12. Звести задані рівняння кривих до канонічного вигляду, визначити їх тип, знайти півосі, фокуси, ексцентриситет та рівняння директрис:

4x − 4 y + z − 3 = 0 та координати точки M ′ , симетричної точці M відносно цієї площини.

31

вигляду та знайти відповідне ортогональне перетворення.

21. Користуючись теорією квадратичних форм, звести до канонічного вигляду рівняння лінії другого порядку x2 + y 2 − 8xy − 20x + 20 y + 1 = 0 , визначити її тип, знайти систему координат, у якій рівняння лінії має канонічний вигляд, та зобразити цю лінію графічно.

22. Вказати тип та нарисувати поверхні:

32

трьома способами: а) методом Крамера; б) методом Гаусса; в) матричним методом.

4. Дослідити системи лінійних рівнянь на сумісність та розв’язати їх у випадку сумісності:

A(0;1;3). Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при переміщенні матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки B(1;2;5).

7. Знайти момент сили F = {1;3;3}, прикладеної до точки A(2;0;1), відносно

точки B(5;8;9).

8. Задано дві трійки векторів:

а) e1 = {− 1; 5; 3}, e2 = {0; 2; 2}, e3 = {1; 3; 5};

б) e1 = {3; 4; − 2}, e2 = {1; − 2; 3}, e3 = {3; 1; − 1}.

Визначити, яка з трійок утворює базис та обчислити координати вектора

a= {2; 0; − 3} у цьому базисі.

9.Точки A1 (− 2;0;−1), A2 (0;0;4), A3 (1;3;2), A4 (3;2;7) є вершинами піраміди.

Обчислити: а) площу грані A1 A2 A3 ; б) об'єм піраміди; в) висоту піраміди, проведену з вершини A4 .

на три частини так, що кожна наступна частина вдвічі коротша за попередню. Написати: а) рівняння прямої CP ; б) рівняння прямої, що проходить через точку Q паралельно до сторони AC ; в) рівняння висоти, опущеної з вершини

відстані від даних прямих.

12. Звести задані рівняння кривих до канонічного вигляду, визначити їх тип, знайти півосі, фокуси, ексцентриситет та рівняння директрис:

33

5x − 2 y + z − 4 = 0 та координати точки M ′ , симетричної точці M відносно цієї площини.

вигляду та знайти відповідне ортогональне перетворення.

21. Користуючись теорією квадратичних форм, звести до канонічного вигляду рівняння лінії другого порядку 3x2 + 3y 2 − 2xy − 6x + 2 y + 1 = 0 , визначити її тип, знайти систему координат, у якій рівняння лінії має канонічний вигляд, та зобразити цю лінію графічно.

22. Вказати тип та нарисувати поверхні:

а) x2 + y2 + z2 = 2z ; б) y2 − x2 = 0 .

34

Варіант 6

трьома способами: а) методом Крамера; б) методом Гаусса; в) матричним методом.

4. Дослідити системи лінійних рівнянь на сумісність та розв’язати їх у випадку сумісності:

b= {0; 2; 3}.

6.Сили F1 = {2;1;3}, F2 = {− 3;1;1}, F3 = {5;1;−1} прикладені до точки A(−1;2;3).

Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при переміщенні матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки B(2;3;5).

7. Знайти момент сили F = {-1;3;-5}, прикладеної до точки A(2;4;−1),

відносно точки B(0;1;2).

8. Задано дві трійки векторів:

а) e1 = {1; 1; 5}, e2 = {− 2; 4; 1}, e3 = {−1; 3; − 3};

б) e1 = {− 1; 2; 3}, e2 = {− 2; 3; 4}, e3 = {2; − 4; − 6}.

Визначити, яка з трійок утворює базис та обчислити координати вектора a = {− 2; 8; 3} у цьому базисі.

35

9.Точки A1 (3;0;6), A2 (1;−3;2), A3 (3;2;5), A4 (2;2;5) є вершинами піраміди.

Обчислити: а) площу грані A1 A2 A3 ; б) об'єм піраміди; в) висоту піраміди, проведену з вершини A4 .

10.Точки A(− 7;−2), B(7;5), C(− 3;9) є вершинами трикутника ABC, а точки

P і Q ділять сторону AB цього трикутника, починаючи з вершини A, на три частини так, що кожна наступна частина вдвічі коротша за попередню. Написати: а) рівняння прямої CP ; б) рівняння прямої, що проходить через точку Q паралельно до сторони AC ; в) рівняння висоти, опущеної з вершини A ; г) обчислити довжину медіани AМ.

11. Знайти відстань між паралельними прямими 7x + y + 2 = 0 та 7x + y + 8 = 0 . Написати рівняння прямої, що знаходиться на однаковій відстані від даних прямих.

12. Звести задані рівняння кривих до канонічного вигляду, визначити їх тип, знайти півосі, фокуси, ексцентриситет та рівняння директрис:

а) 4x2 − y2 + 24x + 2 y + 31 = 0 ; б) 4x2 + 9 y2 − 54 y + 45 = 0 .

13.Скласти рівняння площини, яка проходить через точки A(0;−3;4) і B(1;2;6) перпендикулярно до площини x − 2 y − 3z + 8 = 0 .

14.Задані точки A(− 2;0;−4); B(− 1;0;1); C(4;−7;−2). Записати: а) рівняння

2x + y + z − 5 = 0 та координати точки M ′ , симетричної точці M відносно цієї площини.

36

базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ; б) матрицю

власних векторів.

20. Квадратичну форму F (x, y) = x2 - 4xy + y 2 звести до канонічного вигляду та знайти відповідне ортогональне перетворення.

21. Користуючись теорією квадратичних форм, звести до канонічного вигляду рівняння лінії другого порядку x2 + y2 − 4xy − 8x − 8 y + 1 = 0 , визначити її тип, знайти систему координат, у якій рівняння лінії має канонічний вигляд, та зобразити цю лінію графічно.

22. Вказати тип та нарисувати поверхні:

2. Знайти матрицю X з матричного рівняння A × X + B = A2 , якщо

трьома способами: а) методом Крамера; б) методом Гаусса; в) матричним методом.

4. Дослідити системи лінійних рівнянь на сумісність та розв’язати їх у випадку сумісності:

37

відносно точки B(2;−1;3).

8. Задано дві трійки векторів:

а) e1 = {2; 4; 1}, e2 = {− 1; 1; − 3}, e3 = {1; 3; 5};

б) e1 = {3; 1; 5}, e2 = {− 2; 2; 2}, e3 = {1; − 2; − 3}.

Визначити, яка з трійок утворює базис та обчислити координати вектора

a= {− 3; 1; − 2} у цьому базисі.

9.Точки A1 (1;2;3), A2 (2;0;0), A3 (3;2;1), A4 (4;0;0) є вершинами піраміди.

Обчислити: а) площу грані A1 A2 A3 ; б) об'єм піраміди; в) висоту піраміди, проведену з вершини A4 .

10.Точки A(5;2), B(12;−5), C(7;3) є вершинами трикутника ABC, а точки P і Q ділять сторону AB цього трикутника, починаючи з вершини A, на три

частини так, що кожна наступна частина вдвічі коротша за попередню. Написати: а) рівняння прямої CP ; б) рівняння прямої, що проходить через точку Q паралельно до сторони AC ; в) рівняння висоти, опущеної з вершини A ; г) обчислити довжину медіани AМ.

11. Знайти відстань між паралельними прямими x + 2 y + 3 = 0 та x + 2 y + 9 = 0 . Написати рівняння прямої, що знаходиться на однаковій відстані від даних прямих.

12. Звести задані рівняння кривих до канонічного вигляду, визначити їх тип, знайти півосі, фокуси, ексцентриситет та рівняння директрис:

а) y2 − 4x + 2 y + 9 = 0 ; б) 9x2 − 25 y2 + 54x −100 y − 244 = 0 .

13.Скласти рівняння площини, яка проходить через точки A(−1;2;4) і B(0;5;2) перпендикулярно до площини x + 4 y − 5z −1 = 0 .

14.Задані точки A(2;−1;−2); B(1;2;1); C(5;0;−6). Записати: а) рівняння

площини, що проходить через ці точки; б) обчислити відстань від точки M (14;−3;7) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить через точку B перпендикулярно до площини; г) рівняння площини, яка проходить

38

вигляду та знайти відповідне ортогональне перетворення.

21. Користуючись теорією квадратичних форм, звести до канонічного вигляду рівняння лінії другого порядку 2xy + 2x + 2 y − 3 = 0 , визначити її тип, знайти систему координат, у якій рівняння лінії має канонічний вигляд, та зобразити цю лінію графічно.

22. Вказати тип та нарисувати поверхні:

39

2. Знайти матрицю X з матричного рівняння A × X + B = A2 , якщо

трьома способами: а) методом Крамера; б) методом Гаусса; в) матричним методом.

4. Дослідити системи лінійних рівнянь на сумісність та розв’язати їх у випадку сумісності:

відносно точки B(− 3;4;0).

8. Задано дві трійки векторів:

а) e1 = {− 2; 3; 2}, e2 = {− 3; 4; 3}, e3 = {1; − 2; −1};

б) e1 = {3; 2; 1}, e2 = {− 5; 4; − 3}, e3 = {2; − 1; 2}.

Визначити, яка з трійок утворює базис та обчислити координати вектора

a= {− 5; − 3; 1} у цьому базисі.

9.Точки A1 (2;0;0), A2 (− 2;0;−1), A3 (1;4;2), A4 (3;0;6) є вершинами піраміди.

Обчислити: а) площу грані A1 A2 A3 ; б) об'єм піраміди; в) висоту піраміди, проведену з вершини A4 .

40