Metodichka_liniyna_algebra

5

5

3

б)

відстань від M до прямої; в)

точку M ′ , симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

18. Двійки векторів

′

′

e1 (2; 1),

e2 (3; 0)

та

7)

утворюють в

e1 (7;

2), e2 (23;

просторі L базиси B та

B′ відповідно, а

A =

− 1

3

є матрицею оператора в

2

2

5

базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ; б) матрицю

′

′

.

A

оператора в базисі B

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

1

0

′

заданого матрицею A =

та записати відповідну матрицю

A в базисі з

3

3

власних векторів.

20. Квадратичну форму F (x, y) = 7x2

− 4xy + 7 y 2 звести до канонічного

вигляду та знайти відповідне ортогональне перетворення.

21. Користуючись теорією

квадратичних форм, звести до

канонічного

а) x2 − y 2 − z2 = 0 ;

б) 2x + y − 6 = 0 .

Варіант 17

− 4

9

1

3

0

=

2

1

6

=

− 4

− 6

0

1

5

1. Обчислити визначники: а)

3

5

7

, б)

0

0

0

0

6

.

1

− 7

0

3

− 2

1

− 7 1

9

0

− 3

2

0

2. Знайти матрицю X з матричного рівняння X × B + A = B2 , якщо

- 4

0

2

1

A =

,

B =

.

-10

- 4

- 5

0

− x1 + 2x2

+ x3 = 2;

x1 + 3 x2

− x3 = 8;

2x1

+ x3 = 1.

x1 − 2x2 − 3x3

= −1;

x1 − 3x2 + 2x3 + 5x4 = 4;

1

2

− 5x

3

= 4;

x + 3x

б) 2x1 + x2 − 3x3 + x4 = 2;

а)

− x

+ 4x

+ x

= 3;

2

3

4x − 5x

+ x

+ 11x

= 10.

1

2

3

4

3x + x

− 13x

= 4.

1

2

3

1

5. Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

− 3

, косинус

b

b

m

a

n

a

кута

між

ними,

та напрямні

косинуси

вектора

,

якщо

пр

b

m

b

= {0; 1; 2},

= {2; 2; − 4}.

b

a

6. Сили

= {2;−3;1},

= {− 3;2;3},

прикладені

до

точки

F1

F2

F3 = {4;5;1}

A(−4;0;−1) . Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при

переміщенні матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки

A до точки

B(1;1;2).

7.

Знайти

момент

сили

= {0;2;5}, прикладеної до точки

A(− 3;−4;5),

F

відносно точки B(0;0;8).

8. Задано дві трійки векторів:

а)

e1 = {1; 0; 3},

2 = {− 2; 1; − 2},

e3 = {−1; 0; − 5};

e

б)

e1 = {1; 0; 1},

2 = {5; − 2; 1},

3 = {0; 1; 2}.

e

e

Визначити,

яка з

трійок утворює базис та

обчислити

координати вектора

= {− 4; 2; − 2} у цьому базисі.

a

9. Точки

A1 (1;−3;0), A2 (− 2;0;0), A3 (− 4;1;−2), A4 (− 3;−2;−7)

є

вершинами

піраміди. Обчислити: а) площу грані

A1 A2 A3 ; б)

об'єм

піраміди;

в)

висоту

піраміди, проведену з вершини A4 .

10. Точки A(−1;1), B(13;9), C(2;−7)

є вершинами трикутника ABC, а точки

P і Q ділять сторону AB цього трикутника,

починаючи з вершини A,

на три

11. Знайти

відстань

між паралельними прямими 4x − 3y + 5 = 0 та

4x − 3y − 8 = 0 .

Написати

рівняння прямої, що знаходиться на однаковій

площини, що проходить через ці точки; б) обчислити відстань

від точки

M (− 2;3;9) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить через

точку B перпендикулярно до площини; г) рівняння площини, яка проходить

через точку M паралельно до площини;

д) рівняння прямої,

яка проходить

через точки M і B .

x − y + z − 2 = 0,

15.

Звести загальне рівняння прямої

до канонічного

x − 2 y − z + 4 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16.

Знайти координати проекції

точки M (3; − 2;5)

на

площину

17. Знайти: а) проекцію точки M (9; −10;5) на пряму

x − 3

=

y + 2

=

z −1

;

точку M ′ ,

6

4

− 1

б) відстань від M до прямої; в)

симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18. Двійки векторів

e1 (3; 4),

e2 (0; 2)

та

утворюють в

e1 (6; 10),

e2 (21; 34)

просторі L базиси B та

B′

відповідно, а

2

2

є матрицею оператора в

A =

3

2

− 1

базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ; б) матрицю

A′ оператора в базисі B′ .

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

3

5

′

в базисі з

заданого матрицею A =

та записати відповідну матрицю

A

0

7

а) x2 + y2 + 6z - 12 = 0 ;

б) z2 - 16 y2 = 0 .

Варіант 18

− 2

− 2

5

2

0

1

1. Обчислити визначники: а) =

3

1

б) =

3

0

− 7

4

3

7

5

4

,

7

8

0

0

1

.

1

4

− 2

9

2

1

0

− 5

0

5

3

0

3

− 3

4

,

1

1

A =

B =

.

− 13

15

4

− 3

3. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

2x1 + 5x2 − 3x3 = −4;

x1 − x2 + x3 = 3;

2x + x

2

− x

3

= 0.

1

x1 - x2 + x3

= 3;

x1 + 3x2 - x3 + 2x4

= 5;

= 0;

2x1 + x2 - x3

+ 5x3 - 3 x4

= -4;

а)

= -4;

б) 2x1 - 7x2

2x1 + 5x2 - 3x3

= 6.

5x + 5x

- 3x

= -1.

4x1 - x2 + 3x3 + x4

2

3

1

5. Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

− 3

,

косинус

b

b

m

a

n

a

кута між ними,

та напрямні косинуси вектора

,

якщо

= {5; − 2; 3},

пр

b

m

a

b

= {−1; 3; 2}.

b

7. Знайти момент сили

= {− 1;3;−5}, прикладеної до точки

A(2;4;−1),

F

відносно точки B(0;1;2).

8. Задано дві трійки векторів:

а)

e1 = {3; 5; 0},

2 = {0; − 2; 1},

3 = {3; 1; 2};

e

e

б)

e1 = {1; − 1; 4},

2 = {− 2; 1; − 1},

e3 = {− 3; 3; 2}.

e

Визначити, яка з трійок утворює базис та обчислити

координати вектора

= {− 4; 3; 5} у цьому базисі.

a

9. Точки A1 (2;−1;0), A2 (− 3;−2;−7), A3 (− 2;−2;5), A4 (− 6;−1;−5) є вершинами

піраміди. Обчислити: а) площу грані A1 A2 A3 ; б) об'єм

піраміди;

в) висоту

піраміди, проведену з вершини A4 .

а) x2 − 4 y2 + 8x + 16 y −16 = 0 ;

б) 25x2

+ 16 y2 + 50x − 128 y − 119 = 0 .

13. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки A(− 2;3;−1) і

B(1;−1;3) перпендикулярно до площини x + y + z + 14 = 0 .

14. Задані

точки A(0;−3;1); B(− 4;1;2); C(2;−1;5). Записати: а)

рівняння

площини, що проходить через ці точки; б) обчислити відстань

від точки

M (− 3;4;−5) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить через

точку B перпендикулярно до площини;

г) рівняння площини, яка проходить

через точку M паралельно до площини;

д) рівняння прямої,

яка проходить

через точки M і B .

x − 3y + 2z + 2 = 0,

15. Звести загальне рівняння прямої

до канонічного

x + 3y + z + 14 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16. Знайти

координати проекції

точки

M (1; 2;− 3)

на

площину

17. Знайти: а) проекцію точки M (3; − 6;3) на пряму

x + 2

=

y −1

=

z − 2

;

7

4

− 7

б) відстань від M до прямої; в) точку M ′ , симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18.

Двійки векторів

e1 (1; 1), e2 (2; 0)

утворюють в

та e1 (4;

2), e2 (13; 1)

просторі

L базиси B та

B′

відповідно, а

1 4

A =

є матрицею оператора в

2

3 2

базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ; б) матрицю

′

′

.

A оператора в базисі B

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

1

6

′

в базисі з

заданого матрицею A =

та записати відповідну матрицю A

2

2

власних векторів.

+ 4xy + 5 y2 звести до канонічного

20.

Квадратичну форму F (x, y) = 5x2

а) x2 + y2 + z2 + 6x = 0 ;

б) 3x + y − z − 9 = 0 .

Варіант 19

− 8

3

1

− 2

3

6

1

1

0

0

3

0

0

1. Обчислити визначники: а) =

− 5

2

3

, б)

=

− 4

1

2

3

− 5

.

8

0

2

3

7

− 1

0

9

3

0

1

5

8

2.

Знайти матрицю X з матричного рівняння X × B + A = B2 , якщо

8

2

1

0

A =

,

B =

.

4

0

5

1

3.

Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

2x1 - x2 + 2x3 = 2;

- 3x1 + 2x2 - x3 = 0;

2x1 + x2 - 3x3 = 1.

− x1 + 2x2

+ 3x3

= 3;

5x1 + x2

+ x3 − 2x4 = 8;

1

+ x

2

+ x

3

= 8;

3x

б)

− x1 + 5x2 + 5x3

= 18;

а)

− x

+ x

+ 4x

= 3;

2

3

2x

+ 3x

+ 3x

− x

= 13.

1

2

3

4

x + 4x

+ 8x

= 14.

1

2

3

1

5. Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

− 3

, косинус

b

b

m

a

n

a

кута між

ними,

та

напрямні

косинуси

вектора

,

якщо

пр

b

m

b

= {2; 2; − 10},

= {2; 0; 6}.

b

a

6. Сили

= {1;−2;−2},

прикладені

до

точки

F1

F2 = {− 2;3;3}, F3 = {3;1;2}

A(1;0;2). Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при переміщенні

матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки B(2;1;4).

7. Знайти момент сили

= {2;0;4}, прикладеної до точки A(1;3;1), відносно

F

точки B(0;2;1).

8. Задано дві трійки векторів:

а)

e1 = {2; − 4; 0},

2 = {0; 5; 2},

e3 = {2; 1; 2};

e

б)

e1 = {3; 0; − 1},

2 = {2; 1; 1},

e3 = {− 1; − 2; 4}.

e

Визначити,

яка з

трійок утворює базис

та

обчислити

координати

вектора

= {0; − 3; 2} у цьому базисі.

a

9. Точки

A1 (−1;2;−1), A2 (0;0;−4), A3 (−1;−4;−2), A4 (− 2;0;0) є

вершинами

піраміди. Обчислити: а) площу

грані A1 A2 A3 ; б)

об'єм

піраміди; в)

висоту

піраміди, проведену з вершини A4 .

10. Точки

A(2;1), B(−12;8), C(− 3;−3)

є

вершинами

трикутника

ABC,

а

точки P і Q ділять сторону

AB цього трикутника, починаючи з вершини

A,

13. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки

A(0;0;2) і

B(1;−3;4) перпендикулярно до площини 4x + y − z + 7 = 0 .

14.

Задані точки A(1;3;0);

B(4;−1;2); C(3;0;1). Записати: а)

рівняння

площини, що проходить через ці точки; б) обчислити відстань

від точки

M (4;3;0) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить через

точку B перпендикулярно до площини; г) рівняння площини, яка проходить

через точку M паралельно до площини;

д) рівняння прямої,

яка проходить

через точки M і B .

3x + y − z − 6 = 0,

15.

Звести загальне рівняння прямої

до канонічного

3x − y + 2z = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16.

Знайти координати

проекції

точки M (5; −1;0)

на

площину

17. Знайти: а) проекцію точки M (−7;8;1) на пряму

x − 6

=

y −11

=

z −1

;

11

6

− 2

б) відстань від M до прямої;

в) точку M ′ , симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18.

Двійки векторів

e1 (0;

2), e2 (1; 3)

та

e1 (1; 7),

e2 (3; 23) утворюють в

просторі

L базиси B та

B′

відповідно, а

A =

2

5

є матрицею оператора в

2

1

3