Metodichka_liniyna_algebra

A ; г) обчислити довжину медіани AМ.

11. Знайти

відстань

між паралельними

прямими 3x − 5 y + 1 = 0 та

9x − 15 y + 15 = 0 .

Написати

рівняння прямої,

що знаходиться на однаковій

площини, що проходить через ці точки; б) обчислити відстань

від точки

M (− 1;−8;−7) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить

через точку B перпендикулярно до площини; г) рівняння

площини,

яка

проходить через точку M паралельно до площини; д) рівняння прямої,

яка

проходить через точки M і B .

x + 5 y − z − 5 = 0,

15. Звести загальне рівняння прямої

до канонічного

2x − 5 y + 2z + 5 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16. Знайти координати проекції

точки M (5; − 3; − 4)

на

площину

точку M ′ ,

4

6

1

б) відстань від M до прямої; в)

симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18. Двійки векторів e1 (1;

2),

e2 (−3; 2) та

утворюють в

e1

(−1;

6), e2 (−3; 10)

просторі L2 базиси B та B′

відповідно, а A =

2

3

є матрицею оператора в

1

4

базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ; б) матрицю

A′ оператора в базисі B′ .

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

4

2

′

в базисі з

заданого матрицею A =

та записати відповідну матрицю

A

0

3

а) x2 = 4 y2 + 9z2 ;

б) x2 + y2 = 16 .

Варіант 9

1. Обчислити визначники:

− 6

− 2

1

6

3

0

7

0

2

− 2

0

1

0

а) =

1

5

− 2

,

б) =

7

0

− 4 − 8

0

.

− 3

4

3

2

3

7

1

7

1

0

9

4

0

− 2

1

5

− 3

A =

,

B =

.

− 2

− 7

1

6

x1 + 2x2 − 3x3 = −3;

− x1 + 2x2 + 2x3 = 5;

2x − 3x

2

− x

3

= −3.

1

2x1 - 3x2 - x3

= 0;

x1 + 5x2 + x3 - 2x4 = 8;

= 1;

x1 + 2x2 - 3x3

= 5;

а)

+ 2x2 + 2x3

= 2;

б) 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4

- x1

= 21.

2x

+ x

- 2x

= 3.

4x1 + 7x2 + 4x3 - 3x4

2

3

1

5. Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

- 3

,

косинус

b

b

m

a

n

a

кута між

ними,

та напрямні

косинуси

вектора

, якщо

пр

b

m

b

= {4; 2; 1},

= {-2; 2; -1}.

b

a

6.

Сили

= {− 3;4;5},

до

точки

F1

F2 = {7;1;−3}, F3 = {0;−1;1} прикладені

A(− 3;0;−5). Обчислити

роботу, яку виконує рівнодійна цих

сил

при

переміщенні матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки

B(1;1;3).

= {0;−1;5}, прикладеної до точки

7.

Знайти

момент

сили

A(− 2;0;7),

F

точку Q паралельно до сторони AC ;

в) рівняння висоти, опущеної з вершини

A ; г) обчислити довжину медіани AМ.

прямими 2x − y + 5 = 0 та

11. Знайти

відстань

між паралельними

4x − 2 y + 7 = 0 .

Написати

рівняння

прямої, що

знаходиться на однаковій

а) x2 + 14x − 2 y + 29 = 0 ;

б) 16x2 − 9 y2 + 64x − 36 y − 116 = 0 .

13. Скласти рівняння площини,

яка проходить через точки A(1;−3;2) і

B(2;1;−1) перпендикулярно до площини 4x − y + z − 5 = 0 .

14. Задані точки A(− 4;2;6); B(2;−3;0);

C(− 10;5;8). Записати: а) рівняння

площини, що проходить через ці точки;

б) обчислити відстань від точки

M (− 13;11;5) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить через

точку B перпендикулярно до площини; г)

рівняння площини, яка проходить

через точку M паралельно до площини;

д) рівняння прямої,

яка проходить

через точки M і B .

x + 5 y − z + 11 = 0,

15. Звести загальне рівняння прямої

до канонічного

x − y + 2z − 1 = 0

17. Знайти: а) проекцію точки M (−4; − 2;1) на пряму

x − 6

=

y + 4

=

z − 1

;

3

− 2

− 2

б)

відстань від M до прямої; в) точку M ′ , симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18. Двійки векторів

e1 (2; 0), e2 (1; 2)

утворюють в

та e1 (4;

4), e2 (7; 6)

просторі L базиси B та

B′

відповідно, а

2

1

A =

є матрицею оператора в

2

4

1

базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ; б) матрицю

′

′

.

A

оператора в базисі B

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

1

3

′

в базисі з

заданого матрицею A =

та записати відповідну матрицю

A

3

1

а) x2 + y2 + z2 = 4x ;

б) z = 2x2 .

Варіант 10

− 5

− 2

3

7

1

0

1

6

1. Обчислити визначники: а) =

б) =

4

1

7

0

1

4

1

2

,

8

7

− 3

8

5

.

−1

2

− 5

2

0

4

2

3

0

1

0

0

0

3

1

5

5

A =

,

B =

.

- 2

- 5

1

0

2x1 − x2 + 13x3 = 3;

+ 2x2

+ x3 = −3;

− x1

5x

+ 3x

2

− x

3

= 2.

1

3x1 + 4x2

+ 2x3 = −1;

6x1 + 2 x2 + x3 = 2;

− 3x − x

+ 2x

= −2;

2

3

1

+ 2x3 + x4 = 3;

а)

5x1 + 2x2 + x3 = 3;

б) x1 − 3x2

8x − 4x + 5x + 2x = 8.

x + 3x

− x = −2.

1

2

3

4

1

2

3

5. Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

− 3

, косинус

b

b

m

a

n

a

кута між ними,

та напрямні косинуси вектора

,

якщо

= {1; 2; 4},

пр

b

m

a

b

= {−1; 2; − 2}.

b

6. Сили

= {1;−3;2},

= {4;5;−1},

прикладені

до

точки

F1

F2

F3 = {− 1;1;3}

A(1;−3;2). Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при переміщенні

матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки B(4;1;3) .

7. Знайти

момент

сили

= {2;−3;7},

прикладеної

до точки

A(1;0;4),

F

відносно точки B(5;8;−1).

8. Задано дві трійки векторів:

а)

e1 = {1; 1; 3},

2 = {− 4; 5; 6},

3 = {4; − 2; 0};

e

e

б)

e1 = {3; 2; 1},

2 = {− 1; 4; − 5},

3 = {2; − 1; 2}.

e

e

Визначити,

яка

з трійок утворює базис та

обчислити

координати

вектора

= {4; 5; − 2} у цьому базисі.

a

9. Точки

A1 (− 2;−1;1), A2 (− 3;0;−1), A3 (− 2;1;3), A4 (0;7;1)

є

вершинами

піраміди. Обчислити: а) площу грані

A1 A2 A3 ; б)

об'єм

піраміди; в)

висоту

піраміди, проведену з вершини A4 .

10. Точки A(− 3;2), B(11;−5), C(1;8)

є вершинами трикутника ABC, а точки

11. Знайти

відстань

між паралельними прямими 4x − 3y − 7 = 0 та

4x − 3y + 3 = 0 .

Написати

рівняння прямої, що знаходиться на однаковій

площини, що проходить через ці точки; б) обчислити відстань

від точки

M (10;1;8) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить через

точку B перпендикулярно до площини; г) рівняння площини, яка проходить

через точку M паралельно до площини;

д) рівняння прямої,

яка проходить

через точки M і B .

2x + y − 3z − 2 = 0,

15. Звести загальне рівняння прямої

до канонічного

2x − y + z + 6 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16. Знайти координати проекції

точки M (4;5; − 3)

на

площину

x + y − z − 9 = 0 та координати точки M ′ , симетричної точці

M відносно цієї

площини.

x −1

y − 2

z −1

17. Знайти: а) проекцію точки M (−3;5;6) на пряму

=

=

;

5

5

1

б) відстань від M до прямої;

в) точку M ′ , симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18.

Двійки векторів

e1 (1;

2), e2 (0; 1)

7) утворюють в

та e1 (1;

4), e2 (2;

просторі

L2 базиси B та B′ відповідно, а

3

2

A =

є матрицею оператора в

1

1

базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ; б) матрицю

′

′

.

A оператора в базисі B

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

0

8

′

в базисі з

заданого матрицею A =

та записати відповідну матрицю A

2

0

власних векторів.

+ 8xy + 5y 2 звести до канонічного

20.

Квадратичну форму F (x, y) = 5x2

вигляду та знайти відповідне ортогональне перетворення.

а)

x2

+ y2 +

z2

= 1;

б) 2x + y + z − 2 = 0 .

9

16

Варіант 11

−1

− 8

1

3

4

3

0

0

0

4

2

7

4

1. Обчислити визначники: а)

=

7

− 5

2

,

б) =

1

0

7

0

3

.

2

1

3

5

0

2

−1

8

5

0

− 4

5

0

1

2

− 9

5

A =

,

B =

.

− 2

1

0

3

x1 + 5x2 + 2x3 = −2;

2x1 − 3x2 − x3 = 4;

− x + x

2

+ 3x

3

= 1.

1

x1 - 3x2 + x3

= -3;

2x1 - 5x2 + 3 x3 - 6x4 = 4;

3x1 + x2 + 2x3

= 2;

+ x2

- 2x3 + x4 = 5;

а)

2x1 + x2 - x3

= 4;

б) x1

- 3x2 - x3 - 4x4

= 14.

6x

- x

+ 2x

= 3.

4x1

2

3

1

5. Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

- 3

, косинус

b

b

m

a

n

a

кута між

ними,

та напрямні

косинуси

вектора

, якщо

пр

b

m

b

= {3; - 2; 5},

= {2; 1; 1}.

b

a

6. Сили

= {1;−1;3},

= {4;4;−1},

F1

F2

F3 = {− 1;1;2} прикладені до точки A(2;1;1).

точку Q паралельно до сторони AC ;

в) рівняння висоти, опущеної з вершини

A ; г) обчислити довжину медіани AМ.

11. Знайти

відстань

між паралельними

прямими x + 7 y − 5 = 0 та

− x − 7 y + 8 = 0 .

Написати

рівняння

прямої, що

знаходиться на однаковій

а) y2 − 6x − 2 y −17 = 0 ;

б) x2 − 9 y2 + 8x − 54 y − 74 = 0 .

13. Скласти рівняння площини, яка

проходить через точки

A(6;4;1) і

B(7;2;3) перпендикулярно до площини x − y + z + 10 = 0 .

14. Задані точки A(2;1;4);

B(3;5;−2);

C(− 7;−3;2). Записати: а) рівняння

площини, що проходить через ці точки; б) обчислити відстань

від точки

M (− 3;1;8) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить через

точку B перпендикулярно до площини; г) рівняння площини, яка проходить

через точку M паралельно до площини;

д) рівняння прямої,

яка проходить

через точки M і B .

x + 2 y + 2z − 2 = 0,

15. Звести загальне рівняння прямої

до канонічного

x − y + 3z + 2 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16. Знайти координати

проекції

точки M (2;3; − 1)

на

площину

3

2

2

б)

відстань від M до прямої; в) точку M ′ , симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

′

′

18.

Двійки векторів

e1 (4; 2), e2 (1; 1)

та

утворюють в

e1 (6; 4), e2 (8; 7)

просторі

L базиси B та

B′

відповідно, а

A =

2

3

є матрицею оператора в

2

1

3

базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ; б) матрицю

′

′

.

A

оператора в базисі B

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

3

−1

′

в базисі з

заданого матрицею A =

та записати відповідну матрицю A

−1

3

власних векторів.

+ 18xy + 4 y2 звести до канонічного

20. Квадратичну форму

F (x, y) = 4x2

а) 4x2 + 9 y2 + z2 = 36 ;

б) x2 + y2 = 6 y .

Варіант 12

1. Обчислити визначники:

− 4

3

5

0

2

1

4

8

1

6

2

− 4

− 1

а) =

3

0

− 5

,

б) =

0

0

6

0

0

.

− 2

2

7

4

− 7

0

5

3

0

9

3

− 7

0

A =

1

2

3

5

,

B =

.

1

- 3

-1

1

3. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

2x1 + 3x2 - x3 = 5;

2x1 + x2 - 5x3 = 3;

+ 2x2

+ 4x3

= 1.

- x1

2x1 + 5x2

+ x3

= 6;

x1

+ 5x2

− 3x3

+ x4 = 5;

− x − 3x

+ 2x

= −1;

2

3

1

+ 3x2

− 9x3

+ 3x4 = 4;

а)

3x

+ x

− x

= 0;

б) 4x1

− 2x + 7x + 3x − x = 6.

1

2

3

4x + 3x

+ 2x

= 5.

1

2

3

4

2

3

1