Metodichka_liniyna_algebra

A =

− 4

− 2

,

2

1

B =

.

4

− 4

1

−1

3. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

3x1 + 2x2 − x3 = 3;

− 5x3 = −7;

x1 + 2x2

2x

− x

2

+ 4x

3

= 9.

1

x1 − 3x2 + 2x3

= 2;

4x1 + 2 x2 − 3x3 + 2x4 = 1;

2x − x

− 3x

= −5;

2

3

1

x1

− 3x2 + 4x3 + x4 = 5;

а)

− x

+ 2x

+ 2x

= 5;

б)

6x − 4x

+ 5x

+ 4x

= 11.

1

2

3

2

3

4

2x

− 2x

+ x

= 2.

1

2

3

1

5. Знайти скалярний добуток векторів

= 2

+

і

=

− 3

, косинус

b

b

m

a

n

a

кута між ними, пр

та напрямні косинуси вектора

,

якщо

= {− 1;−2;5};

b

m

a

b

={3;−1;1}.

b

6. Сили

= {− 2;3;0},

F2 = {− 1;−2;4},

= {7;2;−2}

прикладені

до точки

F1

F3

A(2;1;−3). Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при переміщенні

матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки B(− 3;2;1).

7. Знайти момент сили

= {4;−1;2}, прикладеної

до точки

A(7;5;−1),

F

відносно точки B(4;3;−3).

A ; г) обчислити довжину медіани AМ.

11. Знайти

відстань

між паралельними

прямими 3x − y − 5 = 0 та

− 6x + 2 y + 3 = 0 .

Написати

рівняння прямої, що

знаходиться на однаковій

а) x2 − 9 y 2 + 36 y − 72 = 0 ;

б) 9x2

+ 4 y2 + 72x − 8 y + 112 = 0 .

13. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки

A(− 3;1;4) і

B(0;2;5) перпендикулярно до площини x + y − 6z − 2 = 0 .

14.

Задані

точки A(4;3;2); B(−1;0;1); C(1;2;4). Записати: а) рівняння

площини, що проходить через ці точки; б) обчислити відстань

від точки

M (0;4;−1) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить через

точку B перпендикулярно до площини; г) рівняння площини, яка проходить

через точку M паралельно до площини;

д) рівняння прямої,

яка проходить

через точки M і B .

x + 2 y − 5z − 1 = 0,

15.

Звести загальне рівняння прямої

до канонічного

x − 2 y + 3z − 9 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16.

Знайти

координати проекції

точки

M (−1; − 6;3)

на

площину

17. Знайти: а) проекцію точки M (1;0;2) на пряму

x − 9

=

y

=

z

;

− 3

6

1

б) відстань від M до прямої;

в) точку M ′ , симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

18. Двійки векторів

e1 = {1;2};

2 = {− 2;5} та

e1′ = {3;−3};

2′ = {− 3;12} утворю-

e

e

ють в просторі L2 базиси B

4

1

та B′ відповідно, а A =

є матрицею

2

4

заданого матрицею

2

2

′

в базисі з

A =

та записати відповідну матрицю

A

1

3

а) y2 + z2 - 10x = 0 ;

б) y2 + 16x2 - 8xy = 0 .

Варіант 30.

− 2

3

− 2

3

3

1

3

7

0

0

0

0

1

1. Обчислити визначники: а) =

1

2

−1

,

б) =

− 7

2

− 5

4

0

.

5

4

5

4

5

0

5

4

8

0

1

6

5

1

− 13

0

2

A =

,

B =

.

− 4

20

1

− 5

x1 + 4x2 − 3x3 = −4;

3x1 − x2 + 5x3 = 2;

− x + 2x

2

+ 6x

3

= 7.

1

x1 + 5x2 + 2x3

= -1;

3x1 + 10x2 - 6 x3 + 6x4 = 6;

- 3x2 - x3

= 3;

2x1

- 3x2 + 5x3 - x4 = 5;

а)

- x1 + x2

+ 3x3

= -4;

б) x1

+ 4x2

+ 4x3 + 4x4

= 16.

2x + 3x

+ 4x

= -2.

5x1

2

3

1

= 2

+

=

− 3

5. Знайти скалярний добуток векторів

і

,

косинус

b

b

m

a

n

a

кута між ними, пр

та напрямні косинуси вектора

,

якщо

= {− 3;−1;0};

b

m

a

b

={4;0;−2}.

b

від даних прямих.

12.

Звести задані рівняння кривих до канонічного вигляду, визначити їх

тип, знайти півосі, фокуси, ексцентриситет та рівняння директрис:

а) 4x2 + 9 y2 − 40x + 64 = 0 ;

б) x2 − 4 y2 + 8x + 16 y − 4 = 0 .

13.

Скласти рівняння площини, яка

проходить через точки

A(3;7;2) і

B(−1;7;3) перпендикулярно до площини 2x + 4 y − 5z − 5 = 0 .

14.

Задані точки A(2;3;1);

B(4;1;−2); C(6;3;7). Записати: а)

рівняння

площини, що проходить через ці точки; б) обчислити відстань

від точки

M (− 5;−4;8) до цієї площини; в) записати рівняння прямої, яка проходить через

точку B перпендикулярно до площини; г) рівняння площини, яка проходить

через точку M паралельно до площини;

д) рівняння прямої,

яка проходить

через точки M і B .

5x + y + z = 0,

15.

Звести загальне рівняння прямої

до канонічного

2x + 3y − 2z + 5 = 0

вигляду. Записати параметричні рівняння цієї прямої.

16.

Знайти

координати

проекції

точки M (7; − 4; −1)

на

площину

2x − 2 y − z − 14 = 0

та координати точки M ′ , симетричної точці M відносно

цієї площини.

17. Знайти: а) проекцію точки M (5;6; − 4) на пряму

x −1

=

y − 4

=

z + 2

;

3

− 4

2

б) відстань від M до прямої; в) точку M ′ , симетричну до точки M відносно

цієї прямої.

e1 = {− 2;3};

= {3;−1} та

e1′ = {4;1};

2′ = {−11;5} утворю-

18. Двійки векторів

2

e

e

ють в просторі L

базиси

B та B′

1

5

є матрицею

відповідно, а A =

2

4

10

оператора в базисі B . Визначити: а) матрицю H переходу від базису B до B′ ;

′

′

.

б) матрицю A оператора в базисі B

19. Визначити власні значення і власні вектори лінійного перетворення,

заданого матрицею

− 2

3

′

A =

та записати відповідну матрицю

A в базисі з

− 3

8

власних векторів.

20.

Квадратичну форму F (x, y) = 5x2 − 8xy + 5 y2 звести до

канонічного

вигляду та знайти відповідне ортогональне перетворення.

21.

Користуючись теорією квадратичних форм, звести до канонічного

вигляду

рівняння лінії другого порядку 4x2 − 12xy + 9 y 2

+ 6x + 4 y = 0 ,

Укладачі

Андрусяк Іванна Володимирівна

Білонога Дарія Михайлівна

Бродяк Оксана Ярославівна

Жидик Уляна Володимирівна

Кшановський Іван Павлович

М’яус Ольга Миколаївна

Сало Тетяна Михайлівна

Сорокатий Микола Іванович