Тема 2. Функції і графіки в екомічному моделюванні

1. Поняття функціональної залежності.

2. Способи завдання та дослідження функцій.

2.3. Основні елементарні функції.

1. Поняття функціональної залежності

Поняття функції або функціональної залежності – одне з основних математичних понять, за допомогою яких моделюються взаємозв'язки між різними величинами, кількісні та якісні співвідношення між різними економічними характеристиками та показниками.

Поняття функції, як і поняття множини відноситься до числа початкових понять, тому воно не визначається, а пояснюється. Кажемо, що функція f задана, якщо даний закон, згідно якого кожному значеннюх з деякої числової множини А, ставиться у відповідність одне повністю визначене значенняy з деякої числової множини В.

Функціональна залежність між величинамихтаусимволічно позначається так, дех– аргумент (незалежна змінна),у– функція (залежна змінна).Сукупність всіх значень аргументу, кожному з яких відповідає певне значення функції, називається областю визначення функції. Множина значень, які приймаєу, називається областю зміни функції.

2.2.Способи завдання та дослідження функцій

Функцію можна задати різними способами. Найбільш поширені і важливі серед них – завдання функції формулою (аналітичний), табличний та графічний. При використанні ПК використовується також алгоритмічний спосіб.

Побудова і аналіз графіків функцій. Графіком функції fназивається геометричне місце (множина) точок на координатній площині, які мають координати, у яких абсцисами слугують значення незалежної змінноїх, а ординатами – відповідні значення функції. Функції характеризуються рядом властивостей, до важливіших з яких (для побудови і дослідження графіків) відносяться: парність, нулі, періодичність, монотонність, обмеженість функції, наявність у функції асимптот і оберненої функції.

Функція називається парною, якщо для будь-яких двох різних значень аргументу із області її визначення виконується рівність(наприклад,,). Функціяназивається непарною, якщо для будь-якого значення аргументу із області визначення функції виконується рівність(наприклад,). Існують функції, які не можна віднести до парних або непарних – аморфні (наприклад,). Графік парної функції симетричний відносно вісіOY, а непарної – відносно центруО.

Нулі функції. Нулями функції називають те значення аргументу, при якому функція набуває нульового значення. Графічно нулями функції є точки перетину графіку функції з віссю абсцис.

Періодичні функції. Функція називається періодичною, якщо існує числоТтаке, що для кожного значення аргументухз області її завдання має місце рівність. Число Т називають періодом функції.

Монотонність функції. Функція називається зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких значеньхз цього проміжку, більшому значенню аргументу, відповідає більше значення функції. Функція називається спадною (спадаючою) на деякому проміжку, якщо для будь-яких значеньхз цього проміжку, більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. Зростаючі та спадаючі функції називаються монотонними.

Асимптоти. Асимптотою графіка функції називається пряма, до якої наближається графік даної функції при прямуванні аргументу до нескінченності або до деякого числа а. Асимптоти можуть бути вертикальними, горизонтальними або похилими.

Обмежені функції. Функція називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує таке числоМ, що для всіххз області визначення. Функція називається обмеженою, якщо існує таке числоМ>0, що для всіххз області визначення.

Обернена функція і її графік. Дана функція . Виразимохяк деяку функцію віду:, тобто представимоуяк аргумент, ах– як функцію. Тоді функціяназивається оберненою по відношенню до функції, якщо при підстановці її замість аргументу отримуємо тотожну рівність:.

Складна функція. Функція, задана у вигляді , називається складною функцією х або суперпозицією функційgтаf.