6.3. Прикладні моделі задач цілочислового лінійного програмування (модель формування оптимальної інвестиційної програми при заданому бюджеті)

У окресленій моделі цільовою функцією виступає вартість капіталу інвестиційної програми, причому в ній при заданих обмеженнях (конкретної виробничої програми для окремих інвестиційних об’єктів і за наявності повного обсягу фінансових ресурсів) необхідно сформувати та визначити інвестиційну програму.

Для побудови моделі зробимо такі припущення:

1. представлені на вибір інвестиційні об’єкти рівнозначні;

2. фінансові ресурси неможливо залучити в необмеженій кількості за вказаною відсотковою ставкою;

3. інвестиційна програма визначається тільки на початок планового періоду, а початкові витрати при цьому не перевищують зазначений бюджет;

4) інвестиційні об’єкти реалізуються як єдине ціле.

Для побудови моделі введемо такі позначення: і – індекс інвестиційного об’єкта, ; С_і - вартість капіталу і-го інвестиційного об’єкта; А_і0 - затрати на придбання і-го інвестиційного об’єкта; Q - загальний обсяг бюджетних коштів; х_і - бінарна змінна (х_і = 0 або 1), значення якої визначає, буде для і-го інвестиційного об’єкта виділене фінансування чи ні.

Враховуючи введені позначення, економіко-математична модель формування оптимальної інвестиційної програми при окресленому бюджеті матиме вигляд.

Знайти такий розв’язок , який забезпечитьсумарну максимальну вартість інвестиційної програми:

(6.6)

при умовах:

1) з використання наявного обсягу бюджетних коштів

(6.7)

2) з реалізації інвестиційних об’єктів як єдиного цілого (неподільності інвестиційних об’єктів)

Таким чином, ми отримали задачу лінійного програмування з бульовими змінними. Розв’язок цієї задачі можна знайти з допомогою процедури цілочислового програмування.

Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем

7.1 Постановка задачі нелінійного програмування та її характерні особливості.

7.2 Основні види задач нелінійного програмування. Прикладне використання методу множників Лагранжа.

7.1. Постановка задачі нелінійного програмування та її характерні особливості

До цього часу ми розглядали задачі лінійного програмування, тобто всі невідомі і в цільову функцію, і в обмеження задачі входили лінійно. Проте взаємозв’язки між економічними показниками досить часто носять нелінійний характер і побудована лінійна модель в такому випадку буде неадекватна реальній дійсності. Тому доцільно досліджувати певні економічні пронеси з допомогою нелінійних моделей, математичним інструментом яких є нелінійне програмування.

В загальному випадку задача нелінійного програмування має вигляд:

Z = f(x₁,x₂,...,x_n) max(min), (7.1)

(7.2)

де f(x₁,x₂,...,x_n) та - нелінійні функції.

Часто задачу нелінійного програмування намагаються привести до лінійного виду. Для лінійних задач завжди можна знайти оптимальний розв’язок універсальним (симплексним) методом. При цьому немає проблеми з доведенням існування такого розв’язку, адже в результаті розв’язання задачі симплексним методом завжди отримуємо один із варіантів відповіді:

1. знайдено оптимальний розв’язок;

2. задача суперечлива, тобто її розв’язку не існує;

3. цільова функція необмежена, отже, розв’язку також немає.

Для задач нелінійного програмування не існує універсального методу розв’язування, тому кожного разу треба доводити існування розв’язку задачі, а також його єдиність. При розв’язуванні нелінійних задач використовують наближені методи, більшість яких дають змогу знаходити локальні оптимуми, а вже знайшовши всі локальні оптимуми, методом порівняння значень цільової функції у кожній з точок локального оптимуму можна знайти глобальний.