- •Міністерство освіти і науки україни
- •Київ нухт 2014
- •Мета та завдання навчальної дисципліни
- •Тема 1. Предмет, метод і задачі курсу
- •1.1.Основні дефініції математичного моделювання
- •1.4 Математична модель та її основні елементи
- •Тема 2. Функції і графіки в екомічному моделюванні
- •2.2.Способи завдання та дослідження функцій
- •2.3. Основні елементарні функції
- •Тема 3. Моделі задач лінійного програмування та методи їх розв'язування
- •3.1. Постановка задач лінійного програмування, їх моделі та основні форми
- •2.2. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування
- •3.3. Симплексний метод розв’язування задач лінійного програмування
- •Тема 4. Теорія двоїстості та кількісний аналіз оптимізаційних розрахуків
- •4.1. Двоїстість у задачах лінійного програмування: правила побудови двоїстих задач та їх основні класи
- •4.2. Основні теореми двоїстості
- •4.3. Двоїстий симплекс-метод
- •4.4. Економіко-математичний аналіз оптимальних розрахунків
- •Тема 5. Транспортна задача
- •5.1. Постановка транспортної задачі та її математична модель
- •5.2. Методи побудови початкового опорного плану
- •1. Діагональний метод (північно-західного кута).
- •2. Метод найменшої вартості.
- •5.3. Метод потенціалів
- •5.3.1. Критерій оптимальності опорного плану за методом потенціалів
- •5.3.1. Цикли перерахунку транспортної задачі
- •5.4 Практичне застосування транспортної задачі
- •5.4.2. Модель оптимального розподілу фінансових ресурсів банку
- •5.4.3. Модель формування штатного розпису фірми
- •Тема 6. Задачі цілочислового лінійного програмування та методи їх розв'язання
- •6.1. Постановка задачі цілочислового лінійного програмування
- •6.2. Методи розв’язування задач цілочислового лінійного програмування
- •6.3. Прикладні моделі задач цілочислового лінійного програмування (модель формування оптимальної інвестиційної програми при заданому бюджеті)
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
- •7.1. Постановка задачі нелінійного програмування та її характерні особливості
- •7.2. Основні види задач нелінійного програмування
- •Тема 8. Динаміче програмування
- •8.1. Постановка задачі динамічного програмування
- •8.2. Методи розв’язування задач динамічного програмування
- •8.3. Прикладні моделі динамічного програмування (модель оптимального розподілу фінансових ресурсів між інвестиційними проектами)
- •3.Рекомендована література Законодавчі та нормативно-правові документи
- •Базова література
- •Допоміжна література
- •Інформаційні ресурси
- •Http://ndipit.Com.Ua Науково-дослідний інститут прикладних інформаційних технологій
5.3. Метод потенціалів
5.3.1. Критерій оптимальності опорного плану за методом потенціалів
Ми вже знаємо методи знаходження початкових опорних планів транспортної задачі, але чи ці опорні плани є оптимальними, тобто такими, що дають найменшу загальну вартість перевезення всього вантажу від постачальників до споживачів, ми не знаємо. Опорний план перевіряють на оптимальність за допомогою потенціалів. Відповідно до кожного постачальника Aі ставимо потенціал uі a кожному споживачу .
Критерій оптимальності опорного плану транспортної задачі
якщо для деякого опорного плану (хіj) транспортної задачі існують такі числа-потенціали uі та vj що для базисних клітинок виконуються рівності , а для небазиснихклітинок виконуються нерівність для всіх , то такий опорний план є оптимальним.
Потенціали опорного плану визначаються із рівнянь системи ,які записують для всіх заповнених клітинок таблиці транспортної задачі. За допомогою розрахованих потенціалів перевіряють умову оптимальності -для незаповнених клітинок таблиці. Якщо хоча б для однієї небазисної клітинки ця умова не виконується, тобто ,то поточний план не є оптимальним і потрібно перейти до нового опорного плану.
5.3.1. Цикли перерахунку транспортної задачі
Перехід від одного опорного плану до іншого виконують заповненням небазисної клітинки, для якої порушена умова оптимальності. Якщо окреслених клітинок кілька, то для заповнення вибирають таку, що має найбільше порушення, тобто max{.Для вибраної порожньої клітинки будують цикл перерахунку.
Циклом у транспортній задачі називають замкнену ламану лінію, сторони якої проходять уздовж рядків і стовпчиків таблиці, і одна з вершин якої знаходиться в небазисній клітинці, для якої порушена умова оптимальності, а всі інші вершини - базисні клітинки.
Перерозподіл продукції в межах циклу здійснюють за такими правилами:
а) кожній вершині циклу приписують певний знак, причому незаповненій клітинці знак «+», а всім іншим по черзі знаки «-» та «+»;
б) у порожню клітинку заносять найменше з чисел, що стоять у клітинках зі знаком «-». Одночасно це число додають до відповідних чисел, що стоять у клітинках зі знаком «+» і віднімають від чисел, що розміщені у клітинках зі знаком «-».
Отже, клітинка, що була вільною, стала заповненою, а відповідна клітинка, де знаходилося найменше число (у вершині з «-») стала незаповненою. В результаті такого перерозподілу продукції ми отримаємо новий опорний план транспортної задачі, який знову перевіряємо на оптимальність. Якщо розв’язок оптимальний, то обчислюємо мінімальне значення цільової функції (мінімальну вартість перевезення всього вантажу), а якщо неоптимальний, то знову будуємо цикл перерахунку і з допомогою зсуву по циклу переходимо до нового опорного плану. Процес повторюють до тих пір, доки не отримаємо оптимального розв’язку транспортної задачі.
Значення базисних клітинок, які не брали участі в циклі перерахунку, в новій таблиці залишаються без змін.
Якщо на деякому кроці потреби співпадають із запасами, то в потребах ставимо дійсний нуль, а в запасах – фіктивний (нуль з крапкою – О). Тоді одразу будується повна система рівнянь для знаходження значень потенціалів.
У задачах з виродженим планом часто зсув стосовно циклу треба робити на 0. Тоді при переході до наступної таблиці значення базисних клітинок, що брали участь в циклі перерахунку, не змінилося. Тільки цей «базисний нуль» переводять у небазисну клітинку, для якої по суті робили цикл перерахунку, а клітинка, в якій знаходився цей 0, стає вільною.