Розробка нових та використання типових математичних моделей технологічних процесів. Вибір оптимального технологічного рішення та його техніко-економічне обґрунтування. Методи математичної статистики

План

1. Метод середніх

2. Метод найменших квадратів

Експериментальне вивчення технологічних систем передбачає взаємозв’язок між їх вхідними та вихідними параметрами, цей зв’язок може мати різний характер, залежно від впливу випадкових збурень (Z).

На практиці трапляються наступні випадки:

1) Функціональний або детермінований зв’язок. Він виникає коли кожному значенню вхідної величини відповідає єдине значення вихідної. У разі такого зв’язку впливом випадкових збурень можна знехтувати.

y

∙

∙ ∙

∙

∙x

2) Стохастичний або імовірний зв’язок. Він виникає між двома величинами, коли одна з них змінюється в разі зміни закону розподілу іншої. Він поділяється на:

• кореляційний – коли при зміні однієї величини змінюється тільки середнє значення іншої, а дисперсія і закон розподілу залишаються без змін;

∙ ∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

• скедастичний – коли змінюється тільки ступінь розсіювання значень, тобто дисперсія, при незмінних середніх арифметичних.

. . .

. . . ∙

.. ..

Математичне сподівання – це середньо арифметичне всіх отриманих значень показника. Точність визначення середнього значення буде тим вища, чим буде більша кількість вимірів. Точність середнього значення випадкової величини пов’язана зі ступенем розсіювання значень, що визначається дисперсією.

Для побудови моделі досліджуваної технологічної системи або її складової – технологічного процесу – необхідно провести експериментальні дослідження з певною кількістю дослідів. Отримуємо значення Х, які на графіку представляються точками. Якщо їх з’єднати, можна отримати графік (лінію), вона має назву лінія тренду.

Статистичні методи дають можливість опрацювати ці дані і отримати математичну залежність у вигляді функції у=f(х), що є апроксимацією експериментальних даних.

При апроксимації експериментальних даних використовують відомі математичні залежності:

1. лінійна залежність

у=m_*x+b, де m-кут нахилу

b – координата перетину осі абсцис

2. поліноміальна функція

у=b+c₁x+c₂x²+c₃x³+…+c₆x⁶, де b, c₁… c₆ – константи;

3. логарифмічна функція

y=c*lnX+b, де с і b– константи;

4. експоненціальна функція

y=c*е^bx, де с і b– константи

е – основа натурального логарифму;

5) степенева функція

y=c*х^b, де с і b– константи.

Рівняння апроксимації перевіряють на адекватність, тобто на відповідність реальному процесу. Для цього визначають R², що характеризує з якою похибкою математичне рівняння описує фактичні дані. R² може коливатися в діапазоні 0…1. Коли коефіцієнт наближається до 1, то це говорить про реальність моделі (рівняння) технологічному процесу. Якщо навпаки, то модель неадекватна і не може бути використана для розрахунків.

Регресивний аналіз дозволяє:

1. оцінити ступінь зв’язку між змінними Х та У.

2. Отримати математичний опис цього зв’язку.

3. Отримати математичне сподівання значень У залежно від значень Х, що не ввійшли до експерименту.

Рівняння регресії має вигляд:

У=в₀+в₁х₁+в₂х₂+...+в_nx_n,

де у – вихідний параметр

х – вхідний параметр

в₀…в_n – коефіцієнти регресії, які показують на скільки змінюється у, якщо х змінюється на 1.

2. Метод найменших квадратів.

Крива регресії, що описує результат кореляційно-регресивного аналізу повинна найкраще відповідати експериментальним точкам. Оскільки відхилення може бути „+” або „-”, то за основу визначення наближеності експериментальним шляхом до кривої, беруть квадрат відстані від кривої до експериментальних точок.

Ця умова покладена в основі наукового методу пошуку коефіцієнтів регресії, названого методом найменших квадратів і здійснюється за формулою:

Е_і²=(у_{і роз.}-у_{і практ.})² => min (і=1 → n)

Е_і – різниця між розрахунковим і практичним значенням контрольного показника;

n – кількість експериментальних даних.

Для приведення не лінійних функцій до лінійних, використовують ряд математичних перетворень. Так значення х і у можна представити у вигляді дробу.

1/х; 1/у; ln х.

Для розрахунку коефіцієнтів рівняння регресії використовують системи нормальних рівнянь, їх кількість дорівнює кількості невідомих.

Нехай треба записати систему рівнянь для обчислення коефіцієнтів функції

У= b₀+b₁х+b₂х²

Перше рівняння записують так:

У_і=nb₀+bx_s+b₂x_i²

Для запису другого рівняння задана квадратична функція множиться на х, третьего – на х². Остаточно система рівнянь для знаходження коефіцієнтів рівняння регресії буде мати вигляд:

У_і=Nb₀+b₁х_s+b₂х_i²

У_іx_i = b₀х_i+ b₁х_s² +b₂х_i³

У_іx_i²= b₀х_i²+ b₁х_s³+b₂х_i⁴

Розв’язання цієї системи дає можливість однозначно визначити коефіцієнти , b_0, b_1, b₂, які забезпечують мінімальне значення Е_і.

ЕХСЕL розраховує ці коефіцієнти з використанням статистичної функції „ЛІНЕЙН”. За цією функцією розраховується:

1. Масив коефіцієнтів (b₀, b₁, b₂…).

2. Стандартні похибки для коефіцієнті S_в

3. R² – коєфіцієнт детермінації, який характеризує адекватність рівняння фактичним даним

4. F-статистика – підтвердження невипадкового характеру адекватності моделі.

5. Залишкова сума квадратів, що є мірою розкиду фактичних даних відносно лінії регресії;

6. І виконується перевірка статистичної значущості коефіцієнтів при змінних і вільного члену рівняння. Для цього треба поділити коефіцієнти при змінних на оцінку стандартної похибки відповідного коефіцієнту (S_b) і порівняти з t_крит (критерій Стьюдента). Якщо (В/ Sb) > t_крит, то х при якому стоїть цей коефіцієнт є значущим і впливає на у.

Питання для самопідготовки

1. Які методи математичної статистики Вам відомі?

2. Які зв’язки між вхідними і вихідними параметрами зустрічаються в практиці?

3. Дати характеристику кореляційному і скедастичному зв’язку і при яких умовах вони спостерігаються.

4. Як отримати лінію тренда при побудові графіка технологічного процесу?

5. Якими відомими математичними залежностями можна описати технологічний процес виробництва?

6. За допомогою якого коефіцієнта можна перевірити адекватність рівняння реальному процесу?

7. Який вигляд може мати рівняння регресії і що він дозволяє отримати в результаті проведення регресії?

8. На чому заснований метод найменших квадратів при побудові математичної моделі технологічного процесу?