16.4.16. Частные случаи пересечения поверхностей шара, цилиндра и конуса
В общем случае эти поверхности в раз-личных сочетаниях пересекаются по прост-ранственным кривым 4-го порядка или би-квадратной кривой. В частных случаях их расположения эта кривая распадается на две плоские кривые второго порядка. Их позиционные свойства описываются рядом утверждений:
Утверждение 16.1. Если две поверх-ности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой линии, то они име-ют и вторую плоскую кривую линию пере-сечения (рис.16.58).
|
|
Рис.16.58. Пересечение поверхностей шара и конуса по двум окружностям
Утверждение 16.2. ( о двойком сопри-косновении). Две поверхности второго по-рядка, имеющие в двух их общих точках общие касательные плоскости, пересека-ются между собой по двум кривым линиям второго порядка.
Теорема о двойком соприкосновении применяется для решения задач на постро-ение круговых сечений тех поверхностей второго порядка, которые их имеют, При этом пользуются сферой, имеющей двой-
|
|
Рис. 16.59. Пересечение поверхностей эллиптического цилиндра и шара по двум окружностям.
|
|
Рис. 16.60. Применение теоремы Монжа к конструированию узлов трубопроводов
ное соприкосновение с данной поверхнос-тью ( рис.16.59).
Любые плоскости, параллельные круго-вому сечению эллиптическому цилиндра, пересекают его по окружности. Такие сече-ния называются антипараллельными.
Теорема Монжа (см. рис.5.48, 5.49) яв-ляется частным случаем теоремы о двой-ном соприкосновении. Её используют при конструировании трубопроводов с примене-нием цилиндрических и конических поверх-ностей, описанных вокруг сферы (рис.16. 60).
Утверждение 16.3. Если пересекающи-еся поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плос-кость в виде кривой линии второго поря-дка ( рис.16. 61 – 16. 63).
|
|
Рис. 16.61. Фронтальная проекция линии пересечения поверхностей двух цилиндров -- равнобокая гипербола
|
|
Рис.16. 62. Фронтальная проекция линии пересечения двух конических поверхностей --гипербола
Так как пространственные линии пере-сечения двух поверхностей 2-го порядка, которые на виде спереди выглядят как кри-вые линии 2-го порядка, то можно утвер-ждать, что они принадлежат фронтально-проецирующим поверхностям соответст-венно гиперболического и параболического ( рис.16.61 – 16.63 ) цилиндров.
|
|
Рис. 16. 63. Фронтальная проекция линии пересечения поверхностей конуса и цилиндра с параллельными осями вращения --
-- парабола
Таким образом, в результате решения позиционной задачи на построение линии пересечения двух поверхностей второго по-рядка возникает система из трёх поверх-ностей – двух заданных и одной фронталь-но-проецирующей.
Общие выводы:
1. Позиционные задачи на пересече-ние двух поверхностей любой структуры являються наиболее общими случаями об-разования двухэлемнтных пространст-венных систем;
2. Все позиционные задачи на пересе-чение двух поверхностей решаются об-щим методом вспомогательных секущих посредников, конкретный вид которых определяется структурой пересекающих-ся поверхностей;
3. Системное понимание природы про-ектируемого объекта предусматривает дальнейшее установление связей между
его объёмами по вышеприведенной техно-логии.