Обобщение решения позиционных задач на пересечение конической поверхности с любыми прямолинейчатыми поверхностями

Из анализа и решения задачи на пере-сечение конической поверхности с поверх-ностью гиперболического параболоида вы-текает следующее обобщение на случаи пересечения поверхности конуса любой ст-руктуры с любой прямолинейчатой повер-хностью (см. рис.15.27 -15.54):

Если коническая поверхность Ф пере-секается с какой бы то ни было прямоли-нейчатой поверхностью , то линия их пересечения состоит из точек встречи образующих поверхности  с поверхнос-тью Ф.

Это обобщение отражает единое со-держание технологии решения подобного рода позиционных задач, форма графи-ческой реализации которых определяется конструктивными особенностями пересека-ющихся поверхностей.

16.4.15. Пересечение двух поверхностей вращения

(рис.16.56 – 16.63)

Предварительные соображения

Поверхности вращения являются систе-мами последовательных положений линии, вращающейся вокруг прямолинейной оси.

Так как образующие линии этих поверх-ностей могут быть как прямыми, так и кри-выми, а последние – как плоскими, так и пространственными, закономерными или случайного вида, а их оси - параллельны-ми, пересекающимися или скрещивающи-мися, занимающими в пространстве как общие, так и частные положения, то потен-циально существует множество вариантов условий позиционных задач на построение линий их пересечения.

Очевидно, что решение любой из этих задач определяется применением такого вспомогательного посредника, который пе-ресекает обе поверхности по окружностям.

Рис.16.56. Графическое решение позиционной задачи на пересечение двух поверхностей вращения Ф и  с вертикальными осями

Рис.16.57. Графическое решение позиционной задачи на пересечение двух поверхностей Ф и  вращения с фронтальными пересекающимися осями

Пример 16.18. Построить двухкартин-ный комплексный чертёж двух пересекаю-щихся поверхностей вращения Ф и  с вертикальными осями i¹ и i² , равноудалён-ными от П₂ (рис.16.56).

Решение: 1. Фронтальная плоскость уровня , задаваемая параллельными ося-ми вращения, пересекает обе поверхности по очерковым линиям их фронтальных проекций в точках 1₂ и 2₂, горизонтальные проекции 1₁ и 2₁ которых располагаются на горизонтальном следе ₁ плоскости ;

2. Проекции промежуточных точек ли-нии пересечения строятся при помощи нес-кольких положений ¹, ²,…, ⁿ вспомога-тельной горизонтальной секущей плоскости , пересекающей обе поверхности по окру-жностям а и b;

3. Плоскость  в положениях ¹ и ³ пересекает прежде Ф, а затем -  по их экваторам, на горизонтальных проекциях которых проекция m₁ линии m их пересе-чения теряет видимость.

4. Соединив одноименные проекции по-строенных точек с учетом их видимости, по-лучаем проекции m₁ и m₂ искомой линии пересечения m поверхностей Ф и .

Пример 16.19. Построить двухкартин-ный комплексный чертёж поверхностей вращения Ф и  с пересекающимися осями і¹ и і², равноудалёнными от П₂ ( рис.16.57).

Решение: 1. Принять фронтальную проекцию о₂ точки о пересечения фронта-льных осей данных поверхностей за центр концентрических окружностей различного радиуса R₂^, изображающих вспомогатель-ные секущие сферы ;

2. Так как сферы  соосны с каждой из заданных поверхностей, то они пересекают их соответственно по параллелям а и b, которые, в свою очередь, пересекаются в искомых точках трёх поверхностей: Ф,  и . Поэтому на чертеже следует из о₂ ради-усом R₂^ провести окружность, которая пе-ресечёт очерки данных поверхностей в то-чках, попарно определяющих фронтальные проекции а₂ и b₂ их параллелей, пересека-ющиеся в точках А₂  В₂ фронтальной про-екции m₂ искомой линии пересечения m;

3. Повторить операции п.2 необходи-мое и достаточное число раз, и соединить полученные проекции точек плавной кривой искомой линией m₂;

4. Горизонтальную проекцию m₁ иско-мой линии m пересечения данных поверх-ностей вращения строить на основе графи-ческого моделирования отношения при-надлежности её точек к поверхности Ф, горизонтальные проекции параллелей кото-рой проецируются на П₁ в окружности.

Графическое решение позиционных задач на пересечение двух поверхнос-тей вращения со скрещивающимися осями является очень громоздким. Их принципиальное решение может быть получено путем преобразования одной из заданных поверхностей аппаратом центрального подвижного проецирова-ния (см. рис.16.19) в проецирующую, собирательное свойство вырожденной проекции которой позволит построить проекции искомой линии их пересече-ния на основе моделирования отноше-ния принадлежности её точек ко вто-

рой , не преобразованной поверхности.