16.4.14. Пересечение поверхностей Каталана с конической поверхностью (рис.16.55)

Предварительные соображения

У прямолинейчатых поверхностей Каталана смежные образующие при-надлежат параллельным плоскостям и попарно скрещиваются, а у конической поверхности они пересекаются в вер-шине. Позиционно точки линии их пере-сечения являются точками встречи об-разующих одной поверхности с другой и наоборот, но технологически целесо-образно строить искомую линию по точ-кам встречи образующих поверхностей Каталана с конической поверхностью. Практически каждая из этих образу-ющих в паре с вершиной конуса задаёт вспомогательную секущую плоскость, которая пересекает поверхность конуса по двум её образующим, пересекаю-щим образующую поверхности Ката-лана в точках её встречи с конической поверхностью (см. рис.16. 22, 16. 23).

Рис.16.55. Графическое решение позиционной задачи на пересечение поверхностей конуса Ф и гиперболического параболоида 

Поэтому решение данной задачи сво-дится к построению необходимого и достаточного количество точек встре-чи образующих данной поверхности Ка-талана с данной конической поверхно-стью.

Пример 16.17. Построить двухкартин-ный комплексный чертёж пересекающихся

поверхностей конуса Ф и ги-перболического параболоида  (рис.16.55).

Анализ условия:

Так как по-верхность  имеет два семе-йства попарно скрещивающих-ся образующих, то следы ₁¹, ₁²…₁ⁿ вспомо-гательных секу-щих плоскостей

, на плоскос-

ти основания

m₁^Ф поверхнос-ти Ф образуют 2 пучка прямых 2-го порядка. Эти пучки огибаются ветвями гипер-болы, асимпто-тами которой яв-ляются горизонтальные следы k₁¹ и k₁² плоскостей параллелизма двух семейств образующих поверхности .

Позиционно эти асимптоты являются геометрическими местами следов прямых, проходящих через вершину S конуса Ф и параллельных образующим каждого семей-ства поверхности . Эти следы в парах со следами самих образующих определяют соответствующие следы вспомогательных секущих плоскостей , которые пересекают

основание m₁^Ф конуса Ф в точках-началах тех его образующих, которые пересекают соответственные образующие поверхности

 в точках искомой линии их пересечения. Этот анализ определяет порядок решения.

Решение: 1. Построить горизонтальные следы 1₁,2₁,3₁…образующих обеих семей-ств поверхности ;

2. Построить горизонтальные следы 1₁ 0,… прямых, проходящих через вершину S поверхности Ф и параллельных каждой образующей каждого семейства поверхно-сти ;

3. Соединить соответственные следы типа 1₁ и 1₁ прямыми линиями и отметить точки их пересечения с основанием m₁^Ф по-верхности Ф;

4. Соединить полученные на m₁^Ф точки с S₁ прямыми и отметить точки их пересе-чения с соответствующими проекциям об-разующих поверхности  как точки гори-зонтальной проекции m₁ искомой линии m пересечения данных поверхностей Ф и ;

5. Фронтальную проекцию m₂ искомой линии m следует строить на основе графи-ческого моделирования отношения принад-лежности её точек к образующим поверх-ности .