Глава 15. Геометрия ортогональных проекций кривых поверхностей

Рис. 15.96. Геометрическая модель поверхности «гиперквадрики»

Анализ структуры поверхностей, получаемых неизменяемой проекцион-ной системой S – П ( рис.15.95 ), раскрывает их следующие конструктив-ные особенности:

1. все поверхности конструируются лучами специального линейного комп-лекса как однопараметрического мно-жества связок S, проецирующих линию а пространства R на соответствующие им картины П ;

2. Линейный каркас всех поверх-ностей формируется сетью меридиона-льных гипербол, инцидентных плоскос-тям пучка S, определяемым точками изображаемой линии а, и их паралле-лей как центральных проекций линии а на соответствующих положениях карти-ны. При этом точками проекций а яв-ляются точки пересечения лучей прое-цирующего комплекса с соответству-ющими лучами конгруэнтных пучков лучей Р, образующих в своей сово-купности ортогональную конгруэнцию прямых [ 27 ];

3. Гиперболичность всех поверхно-стей определяет наличие у них одной асимптотической оси – траектории дви-жения центра S и одной асимптотиче-ской плоскости, роль которой играет ка-

ртина, оказавшаяся в положении, па-

раллельном плоскости кривизны изобра-

жаемой линии и удалённом от неё на

главное расстояние системы S - П.

Одной из наиболее интересных яв-ляется поверхность, образуемая цен-тральным подвижным проецировани-ем эллипса z, плоскость кривизны кото-рого не параллельна подвижной карти-не (рис. 15.96). Она названа «гипер-квадрикой» потому, что её меридианы являются гиперболами, а в качестве параллелей выступает однопараметри-ческое множество эллипсов с различ-ными отношениями длин их большой и малой осей, две параболы, соответ-ствующие двум положениям центра, проецирующего вершины эллипса лу-чами, параллельными соответствую-щим картинам, конечное количество ги-пербол (по числу пар точек изобража-емого эллипса, проецируемых в бес-конечность), а также одной прямой ли-нии, в которую проецируется эллипс из центра S⁷ совпадающего с плоскостью его кривизны.

Полученная «человекообразная» по-верхность является своеобразным «ан-тиконусом», ибо её последовательные сечения параллельными картинами яв-ляются коническими. Это алгебраиче-ская поверхность 4-го порядка, так как произвольная прямая пересекает её максимум в 4-х точках.

Изобразительные свойства ортогональных проекций гиперквадрики ( рис. 15. 97)

Начинать построение графической модели гиперквадрики  следует с за-дания проекций изображаемого наклон-ного эллипса а (а₁,а_2,а₃ )  П₂, проекций профильно-проецирующей траектории s ( s₁, s₂ ) с необходимым и достаточ-ным количеством положений проециру-ющего центра S и таким же количест-вом положений картины П, сохраняю-щей в процессе движения центра пос-тоянное расстояние d с ним.

На рис.15.96 на эллипсе а взято 12

равномерно расположенных точек, ко-торые центральным подвижным прое-цированием преобразуются в гипербо-лы, плоскости кривизны которых, буду-чи перпендикулярными к П_3, проециру-

ются на неё в пучок прямых с центром в точке s₃  Р.

Рис. 15.97. Графическая модель

гиперквадрики

Если все точки эллипса а проециру-ются в гиперболы, то центральные про-екции самого эллипса как параллели поверхности , выглядят различными кривыми линиями 2-го порядка. Если картинная плоскость пересекает все лу-чи проецирующей данный эллипс ко-нической поверхности, то он изобража-ется эллипсом, если центр S занимает положения S⁷ и S¹³, проецирующие кон-цы большой оси АG эллипса а лучами, параллельными картинам П⁷, П¹³ в бес-конечность, то проекцией эллипса а на на эти положения картины будут в данном случае две конгруэнтные пара-болы а₃⁷ и а₃¹³.

Если центр S занимает положения, проецирующие в бесконечность по две точки эллипса, то его точки, располо-женные за нейтральной плоскостью, проецируются в одну ветвь гиперболы, а точки перед этой плоскостью,- во вто-рую её ветвь. Таких гипербольных про-екций эллипса будут столько, сколько центр будет занимать положений, из ко-

торых пары точек эллипса а будет про-ецироваться в бесконечность.

Если в своём движении центр S со-впадает в плоскостью кривизны эллип-

са а, то связка S¹⁰ проецирующих лучей преобразовалась в плоский пучок, кото-рый спроецировал его точки на картину П¹⁰ в прямолинейный точечный ряд а¹⁰ как вырожденную центральную проек-цию эллипса а. В точках этого ряда пе-ресекаются соответственные меридио-нальные гиперболы как киноперспек-тивные проекции точек эллипса а, фор-мируя верхнюю полу поверхности . Линейный каркас этой полы дополняет-ся верхними ветвями гипербольных проекций эллипса а. В итоге очерк фронтальной проекции ₂ гиперквад-рики  становится «человекообраз-ным», симметричным относительно ве-ртикальной оси.

Очерком её горизонтальной проек-ции являются 4 ветви равнобоких ги-пербол, сопряженных относительно 2-х взаимно-перпендиулярных асимптот – проекции s₁ траектории s движения центра и вертикальной оси симметрии всей проекции.

В состав профильной проекции по-

верхности входят центральные проек-ции эллипса а на последовательных положениях картины в натуральном ви-де.

Рис.15. 98. Линейный закон изменения главного расстояния системы S -П, по-рождающий киноперспективную поверхность с конгруэнтными параллелями

Так как по своей природе эта по-верхность простирается в бесконечно-сть по всем трём направлениям, то на рис 15.97 она ограничена фигурами сечений тремя парами плоскостей уро-вня.

Следует отметить, что на этом ри- сунке изображена только собственно кривая поверхность. Полное представ-ление о её структуре может быть полу-чено после построения директрисных и асимптотных поверхностей фигур её сечений картинными плоскостями.