Рівняння Максвелла в диференціальній формі

Диференціальні рівняння Максвелла утворюються з інтегральних за допомогою двох теорем векторного аналізу: теореми Гаусса і теореми Стокса.

Теорема Гаусса стверджує:

Потік вектора , який характеризує певне поле, через довільну замкнену поверхнюS, подумки проведену в цьому полі, дорівнює інтегралу від дивергенції вектора , що береться по об’ємуV, обмеженому замкненою поверхнею S:

. (5.128)

, (5.129)

де − проекції вектора на осі прямокутної декартової системи координат.

Теорема Стокса стверджує:

Циркуляція вектора , який характеризує певне поле, вздовж довільного замкненого контураL, подумки проведеного в цьому полі, дорівнює потоку вектора через поверхнюS, натягнуту на контур L:

. (5.130)

Тут − ротор вектора , який виражається в декартових координатах у такий спосіб:

. (5.131)

Перше рівняння Максвелла в інтегральній формі:

.

Згідно з теоремою Стокса,

.

З порівняння цих формул випливає:

. (5.132)

Рівняння (5.132) і являє собою перше рівняння Максвелла в диференціальній формі.

Друге рівняння Максвелла в інтегральній формі:

.

Згідно з теоремою Стокса:

.

Отже, друге рівняння Максвелла в диференціальній формі:

. (5.133)

Третє рівняння Максвелла в інтегральній формі:

.

Згідно з теоремою Гаусса:

.

Після порівняння формул дістанемо третє рівняння Максвелла в диференціальній формі:

. (5.134)

Четверте рівняння Максвелла в інтегральній формі:

.

Згідно з теоремою Гаусса:

.

З порівняння цих двох формул матимемо четверте рівняння Максвелла в диференціальній формі:

. (5.135)

Якщо скористатися більш зручним позначенням, де („набла”) означає символічний вектор, або оператор

,

то

, .

Отже, рівняння Максвелла можна подати в компактній формі.

Перше рівняння:

; (5.136)

друге рівняння:

; (5.137)

третє рівняння:

; (5.138)

четверте рівняння:

. (5.139)