8.2 Некоторые свойства циклических кодов
Все свойства циклических кодов определяются образующим полиномом.
1. Циклический код, образующий полином которого содержит более одного слагаемого, обнаруживает все одиночные ошибки.
Строго доказывать это не будем. Покажем это на примере простейшего образующего полинома g(X) =Х+1. Вектор однократной ошибки в i-м разряде описывается полиномом ВО(Х)=Хi.
Найдем
опознаватель
Таким образом, поскольку ВО имеет вес 1 (не равен нулю), ошибка обнаруживается.
2. Можно показать, что циклический код, образованный при помощи простейшего первообразного полинома g(Х)=Х+1, позволяет обнаруживать не только одиночные но и любые ошибки нечетной кратности. Доказательство базируется на том факте, что при использовании образующего полинома X+1 получаемые в результате кодовые слова обязательно имеют четное число единичных разрядов.
Любое искажение с нечетным числом ошибок преобразует разрешенное кодовое слово с четным числом единиц в запрещенное слово с нечетным числом единиц. Такое кодовое слово, поскольку оно является запрещенным, сразу же будет обнаружено по наличию остатка от его деления на образующий полином.
Найдем теперь для случая образующего полинома Х+1 упрощенный вариант процедуры кодирования.
Ранее была приведена следующая формула получения кодового слова (случай систематического кода):
Остатком от деления любого полинома на Х+1 может быть либо 0 (остатка нет) либо 1. Следовательно, r=1, то есть образующий полином Х+1 дает нам один дополнительный корректирующий разряд.
Учитывая вывод о том, что при использовании образующего полинома Х+1 получаемые в результате кодовые слова обязательно имеют четное число единичных разрядов, делаем вывод, что этот один разряд должен дополнять число единиц в информационной части кода до четного числа. В этом и заключается упрощенный способ кодирования при использовании разделимого циклического кода с образующим полиномом X+1.
8.3 Матричное описание циклических кодов
Циклические коды можно, как и любые линейные коды, описывать с помощью матриц.
Вспомним, что
Вспомним также на примере порядок умножения полиномов:
Это соответствует описанному выше упрощенному способу умножения матриц:
Видно, что, если в качестве строк образующей матрицы взять наборы сдвинутых вправо коэффициентов образующего полинома, вычисление кодовых слов при помощи матриц полностью эквивалентно вычислению кодовых слов при помощи полиномов.
Согласно второму способу кодирования, позволяющего получить систематический код, кодовое слово находится по формуле:
Образующая матрица ||ОМ|| в этом случае должна состоять из 2 частей - единичной матрицы ||I|| и матрицы дополнительных разрядов ||МДР||, то есть:
||ОМ ||= || I, МДР || .
Результат кодирования при помощи матриц будет совпадать с результатом кодирования при помощи полиномов в том случае, если строки матрицы дополнительных разрядов образовать по следующей формуле:
i- ая строка МДР= ост(( Xi)/gr(X)).
Далее по МДР легко построить ТПМ найти опознаватели и воспользоваться описанными выше для линейных кодов процедурами кодирования-декодирования.