Лабораторная работа № 13.

Решение сферических треугольников.

Решение малых сферических и сфероидических треугольников

Треугольники триангуляции являются сфероидическими или эллипсоидальными треугольниками, поскольку они образованы на поверхности эллипсоида. Так как на практике приходится иметь дело с треугольниками, стороны которых не превышают 40÷50 км и в редких случаях достигают 70÷80 км, вследствие близости земного эллипсоида к сфере различиями в элементах сферических и сфероидических треугольников триангуляции пренебрегают. Такие треугольники решают, пользуясь теоремой Лежандра или способом аддидаментов.

Решение сферических треугольников по теореме Лежандра.

Если стороны плоского и сферического треугольников соответственно равны, то углы плоского треугольника равны углам сферического треугольника, уменьшенным на одну треть сферического избытка.

Сумма углов сферического треугольника равна:

(А+В+С) = 180º + ε

где ε – сферический избыток треугольника

R – средний радиус кривизны сферического треугольника

Углы плоского треугольника определяются по формулам:

Углы А₁, В₁, С₁ называют приведенными сферическими углами. Если стороны сферического треугольника меньше 90км., то при вычислении сферического избытка различием между сферическими углами и их приведенными значениями можно пренебречь.

Задание 13.1 У сферического треугольника АВС: А = 61° 42' 07,59",

В = 59° 52' 27,47", С = 58° 25' 28,88", Д_А-В = 37629,31м.,

средняя широта В_m = 31° 10' 00". Определить Д_В-С и Д_С-А.

Решение.

• Вычислить сферический избыток по формулам:

В нашем примере:

R = 6368279,708 м.; Р_ΔАВС = 632867780,3 м²; ε" = 3,219".

• Вычислить невязку сферического треугольника по формуле:

В нашем примере:

• Вычислить исправленные углы сферического треугольника по формулам:

В нашем примере:

• Для контроля вычислений найти сумму исправленных углов:

В нашем примере:

• Вычислить приведенные сферические углы по формулам:

В нашем примере:

• Для контроля вычислений найти сумму приведенных углов:

• Вычислить длины сторон Д_В-С и Д_С-А по формулам:

В нашем примере:

Решение сферических треугольников по трём сторонам.

При решении сферических треугольников по трём сторонам с применением теоремы Лежандра треугольники вначале решить как плоские, принимая стороны треугольников прямолинейными, а к вычисленным таким образом углам треугольников прибавить поправки равные ε/3. Формулы для вычислений имеют вид:

где: - полупериметр треугольника АВС

- площадь треугольника АВС

Углы сферического треугольника определяются по формулам:

формула для вычисления сферического избытка:

где: R – средний радиус кривизны в области расположения треугольника,

принимаемого за сферический.

Задание 13.2 У сферического треугольника АВС: Д_А-В = 37629,31м.

Д_В-С = 38889,988 м., Д_С-А =38202,345 м. , средняя широта В_m = 31° 10' 00".

Определить: ⁄А, ⁄В , ⁄С.

Решение.

• Вычислить полупериметр сферического треугольника:

В нашем примере: р =57360,8215

• Вычислить площадь сферического треугольника:

В нашем примере: Р = 632865749,145м².

• Вычислить углы плоского треугольника:

В нашем примере: А₁ = 61° 42' 06,28"; В₁ = 59° 52' 26,16" ; С₁ = 58° 25' 27,57".

• Вычислить сферический избыток:

В нашем примере:

R_m = 6368279,708; ε" = 3,218799007" ≈ 3,219"

• Вычислить углы сферического треугольника:

В нашем примере:

А = 61° 42' 06,28"+ 3,219" : 3 = 61° 42' 07,35"

В = 59° 52' 26,16"+ 3,219" : 3 = 59° 52' 27,23"

С = 58° 25' 27,57"+ 3,219" : 3 = 58° 25' 28,64"