Преобразование координат из одной зоны в другую с учётом поворота осей.
При преобразовании координат большого количества пунктов из одной зоны в другую с точностью порядка 0,15÷0,20 м обычно применяют способ преобразования приращений координат по формулам:
(9.5)
где
и
– приращения координат в первоначальной
зоне;
и
–
преобразованные приращения координат
в заданной зоне;
–угол поворота
осей двух зон;
–коэффициент
масштабирования;
–расстояние
между пунктами в исходной зоне;
–расстояние
между пунктами в заданной зоне.
Для преобразования координат по приведенным формулам необходимо иметь не менее четырёх пунктов, координаты которых известны в двух зонах. Для этого могут быть использованы координаты пунктов триангуляции или углов рамок трапеции.
Так как угол поворота осей на различных расстояниях от осевого меридиана по абсолютной величине не одинаков, то перевычисляемые пункты следует сгруппировать по трапециям масштаба 1:25000 и для каждой такой группы пунктов необходимо вычислить угол поворота осей и коэффициент масштабирования. В пределах одной трапеции масштаба 1:25000 колебания угла поворота невелики.
Пример. Даны координаты пунктов в 7-й шестиградусной зоне от осевого меридиана 39˚. Требуется перевычислить их в 12-ю трёхградусную зону от осевого меридиана 36˚.
Порядок производства вычислений:
Нанести по координатам на топографическую карту или чистый лист бумаги все заданные точки.
Определить геодезические координаты углов рамки трапеции масштаба 1:25000, в пределах которой расположены пункты, координаты которых необходимо преобразовать. Составить схему, на которой пронумеровать углы и выписать геодезические координаты углов рамки.
От долгот рамок трапеций вычесть значение осевого меридиана 7-й шестиградусной зоне и получить в градусной мере расстояния углов рамок трапеции от осевого меридиана 39˚
L – L0 = 37˚00´00″– 39˚00´00″ = – 2˚00´00″
L – L0 = 37˚07´30″– 39˚00´00″ = – 1˚52´30″.
По широте и величие найти из таблиц прямоугольные координаты углов трапеции в системе координат исходной зоны. Знак разности (L– L 0) определяет знак ординаты у.
От долгот рамок трапеций вычесть значение осевого меридиана 12-й трёхградусной зоны и получить в градусной мере расстояния углов рамок трапеции от осевого меридиана 36˚
L – L0 = 37˚00´00″– 36˚00´00″ = + 1˚00´00″
L – L0 = 37˚07´30″– 36˚00´00″ = + 1˚07´30″.
По широте и величие найти из таблиц прямоугольные координаты углов трапеции в системе координат 12-й трёхградусной зоны с долготой среднего меридиана 36˚.
Полученные данные выписать на схему или отдельную таблицу:
Таблица 8.
|
.№ углов |
Геодезические координаты |
Прямоугольные координаты | ||
|
широта В |
долгота L |
х |
у | |
|
|
|
L0 =39˚ |
|
|
|
1 |
48˚00´00″ |
-2˚00´00″ |
5320457,4 |
-149250,1 |
|
2 |
48˚00´00″ |
-1˚52´30″ |
5320222,9 |
-139922,3 |
|
3 |
47˚55´00″ |
-1˚52´30″ |
5310957,5 |
-140147,6 |
|
4 |
47˚55´00″ |
-2˚00´00″ |
5311192,0 |
-149490,4 |
|
|
|
L0 =36˚ |
|
|
|
1 |
48˚00´00″ |
+1˚00´00″ |
5319005,5 |
+74626,2 |
|
2 |
48˚00´00″ |
+1˚07´30″ |
5319133,8 |
+83954,4 |
|
3 |
47˚55´00″ |
+1˚07´30″ |
5309868,0 |
+84089,5 |
|
4 |
47˚55´00″ |
+1˚00´00″ |
5309739,4 |
+74746,3 |
Вычислить дирекционные углы и длины диагоналей трапеций.
Таблица 9.
-
обозначения
L0 =39˚
L0 =36˚
1 – 3
2 – 4
1 – 3
2 – 4
Δу
+9102,5
– 9568,1
+9463,3
–9208,1
Δх
– 9499,9
– 9030,9
–9137,5
–9394,4
tg α
0,958168
1,059485
1,035655
0,980169
α
136˚13´25,7″
226˚39´16,0″
133˚59´47,6″
224˚25´34,4″
S в м
13156,9
13157,0
13154,8
13154,6
Sконтр
13156,9
13157,0
13154,8
13154,6
Вычислить угол поворота осей. Угол поворота осей равен разности дирекционных углов одноимённых линий:
(9.1)
где 
– дирекционный угол в первоначальной
зоне;
–дирекционный
угол в заданной зоне.
1.
= 136˚13´25,7″ 2.
= 226˚39´16,0″
= 133˚59´47,6″
= 224˚25´34,4″
+2˚13´38,1″
+2˚13´41,6″
+2˚13´39,8″
Вычислить коэффициент масштабирования. Коэффициент масштабирования равен отношению длин одноимённых линий в двух зонах:
1.
2.
–расстояние
между пунктами в исходной зоне;
–расстояние
между пунктами в заданной зоне.
Для вычисления координат составляют таблицу, образец которой в приложении № 1.
В графу 1 выписывают номера (или названия) пунктов, подлежащих перевычислению. В первой и последней строках записывают какие-либо углы трапеции, координаты которых участвовали при вычислении угла поворота осей Θ и коэффициента масштабирования К. Если для вычисления величин Θ и К были приняты координаты пунктов, то вместо координат углов трапеции выписывают два из этих пунктов.
В графы 2 и 3 записывают координаты пунктов (выписанных в графу 1) в первоначальной зоне.
В графы 12 и 13 сразу следует записать координаты исходных точек в заданной зоне (т.е. в зоне, которую производят перевычисление).
Затем сверху таблицы записывают значение угла поворота осей Θ, коэффициент форматирования К, sin Θ, cos Θ и произведения К·sin Θ и К· cos Θ.
При положительном угле поворота осей (+Θ) sin Θ и cos Θ имеют знак плюс. При отрицательном угле поворота (– Θ) sin Θ имеет знак минус, cos Θ – знак плюс.
В графу 4 записывают приращения координат Δх, вычисленные по координатам, записанным в графе 2. При вычислении приращений координат следует помнить, что вычисления выполняют в строгом порядке: всегда из абсциссы последующего пункта. В этом же порядке вычисляют приращения Δу и записывают в графу 5.
Контролем этих вычислений служат суммы приращений координат ΣΔх и ΣΔу, которые должны быть равны разностям координат исходных точек, записанных в начале и конце хода.
В графу 6 записывают произведения ΔХ·(К·cosΘ),
В графу 7 – ΔУ·(К·sin Θ); в графу 8 пишут преобразованные значения приращений ΔХ′, равные сумме величин, вычисленных в графах 6 и 7:
ΔХ′ = ΔХ·(К·cosΘ) + ΔУ·(К·sin Θ.
В графу 9 записывают произведения ΔУ· (К·cosΘ); в графу 10 –
произведение ΔХ· (К·sin Θ) с обратным знаком, так как в формуле перед этой величиной стоит знак минус.
В графу 11 пишут преобразованные значения приращений ΔУ′:
ΔУ′ = ΔУ· (К·cosΘ) +{–ΔХ· (К·sin Θ)}.
Далее подсчитывают суммы приращений ΣΔх′ и ΣΔу′ (графы 8 и 11) и результаты записывают внизу.
Теоретически ΣΔх′ и ΣΔу′ должны быть равны разностям координат начальной и конечной точек в новой зоне. Однако вследствие ошибок в величинах Θ и К суммы приращений будут отличаться от теоретических (т.е. от разности координат) на величину порядка ±0,2 м (в редких случаях ±0,3).
Полученные невязки следует распределить пропорционально приращениям Δх′ и Δу′.
Преобразованные координаты вычисляют путём алгебраического суммирования координат предыдущих пунктов с соответствующими преобразованными приращениями (аналогично вычислению координат точек теодолитного хода).
После окончания вычислений преобразованных координат для контроля берут какой-либо пункт в середине хода и его координаты преобразуют обычным путём по таблицам. Если величина расхождения не превышает ±0,15÷0,20 м, то задачу преобразования координат всех пунктов следует считать выполненной.
В прилагаемом примере для контроля преобразования по таблицам координаты пункта «СКВ.43». В результате были получены следующие координаты:
Х = 5413607,91
У= + 78048,77
После вычислений по формулам координаты этого пункта получили значения:
Х=5314607,94
У=+ 78048,78
Таким образом, расхождения составляют: в значении абсциссы 0,03; ординаты 0,01 м.