Методические указания к выполнению лабораторных ра (1)

4

Лабораторная работа 1.1 ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

1 Цель работы

1.1Исследование спектров периодических сигналов: последовательностей П-импульсов и треугольных импульсов, пилообразного колебания.

1.2Исследование влияния ограничения спектра сигнала на его форму.

2 Ключевые положения

2.1 Периодический сигнал s(t) с периодом Т можно представить рядом Фурье, тригонометрическая форма записи которого имеет вид

Из выражения (1) видно, что в общем случае периодический сигнал содержит постоянную составную a0/2 и большое количество гармонических колебаний кратных частот: основной частоты f1 и ее гармоник nf1, n = 2, 3, 4, .... Каждое из гармонических колебаний характеризуется амплитудой An и начальной фазой ψn. Ряд (1) определяет спектр периодического сигнала. Такой спектр является дискретным. У отдельных сигналов некоторые из составляющих могут отсутствовать, если An = 0.

Совокупность чисел An называется амплитудным спектром сигнала, а совокупность чисел ψn – фазовым спектром сигнала. В случае графического изображения амплитудного и фазового спектров числа An и ψn представляют вертикальными линиями на частотах nf1, причем высота каждой линии равняется амплитуде или начальной фазе соответствующей составляющей. Спектры можно представить таблицами.

2.2 На практике особое значение имеют периодические сигналы с периодом T, которые состоят из однополярных прямоугольных импульсов с амплитудой А и длительностью τ (рис. 1, а). Такой периодический сигнал можно записать

В случае представления этого сигнала рядом Фурье необходимо учесть, что сигнал четный и в разложении остаются лишь косинусные составляющие (интеграл от нечетной функции в случае симметричного интервала интегрирования равен нулю). Коэффициенты ряда Фурье для этого сигнала

5

Огибающая спектра периодической последовательности прямоугольных

который зависит от длительности и периода последовательности импульсов. Нули огибающей имеют место на частотах fp = p/t, р = 1, 2, 3, ..., т.е. определяются лишь длительностью импульсов. Уменьшение длительности импульсов при неизменном периоде смещает нули огибающей в направлении более высоких частот, но частоты составляющих остаются неизменными, изменяются лишь их амплитуды. Увеличение периода при неизменной длительности им-

Рисунок 1 – Периодическая последовательность П-импульсов:

а– временная диаграмма; б – спектральная диаграмма

2.3.Еще один важный периодический сигнал – пилообразное колебание (рис. 2). Такие колебания имеют место в устройствах развертки осциллографов, дисплеев, телевизионных приемников и т.п. Представление этого сигнала рядом Фурье:

где f1 = 1/T.

Из выражения (3) видно, что спектр пилообразного сигнала содержит составляющую основной частоты и все ее гармоники.

6

2.4 Особенностью спектров последовательности П-импульсов и пилообразного колебания является то, что амплитуды гармоник с увеличением номера n уменьшаются очень медленно (со скоростью 1/n). Это объясняется наличием резких изменений мгновенных значений сигнала: фронты на рис 1, а и спады на рис. 2. Рассмотрим последовательность двухполярных треугольных импульсов (рис. 3). Ряд Фурье для этого колебания имеет вид:

ределяет довольно широкий его спектр, тем не менее, он уже, чем в двух рассмотренных ранее колебаний.

2.5 Часто с целью уменьшения ширины спектра сигнала (ограничение спектра) прибегают к фильтрации фильтром нижних частот (ФНЧ). ФНЧ характеризуют частотой среза Fср, а его действие на сигнал четко описывается, если привлечь спектральное представление сигнала. ФНЧ пропускает составляющие сигнала с частотами, меньшими Fср и ослабляет составляющие сигнала с частотами, большими Fср. Во временной области действие ФНЧ на сигнал сводится к сглаживанию резких изменений сигнала (фронтов, изломов) и появлению колебательных наложений на сигнал. Можно добиться выделения фильтром колебания основной частоты, если выбрать Fср немного больше f1, постоянной составляющей, если выбрать Fср меньше f1.

3. Ключевые вопросы

3.1.Какие сигналы называются периодическими?

3.2.Записать выражение ряда Фурье для периодической последовательности П-импульсов.

3.3.Записать выражения, определяющие амплитуды и начальные фазы составляющих ряда Фурье для периодической последовательности П- импульсов.

3.4.Дать определения амплитудного и фазового спектров периодического

сигнала.

3.5.В чем заключается принципиальное отличие спектров периодических

инепериодических сигналов?

7

3.6.Как изменится спектр периодической последовательности П- импульсов, если уменьшить длительность импульса?

3.7.Как изменится спектр периодической последовательности П- импульсов, если увеличить период последовательности?

3.8.Почему составляющими ряда Фурье для пилообразного сигнала (рис. 2) и последовательности треугольных импульсов (рис. 3) являются лишь синусоиды?

3.9.Как влияет ограничение спектра П-импульса фильтром нижних частот на его форму?

4 Домашнее задание

4.1Изучить по конспекту и литературе [1, с. 26...33] раздел “ Спектральный анализ периодических сигналов” и описание лабораторного макета в разд. 6.

4.2Рассчитать амплитудный спектр периодической последовательности

П-импульсов с периодом Т = 2N мс, длительностью τ = T/(N + 1) мс и амплитудой A = 1 В, где N – номер Вашей бригады. Результаты расчетов оформить таблицей и построить график спектра.

4.3 Подготовиться к обсуждению по ключевым вопросам разд. 3.

5 Лабораторное задание

5.1Ознакомиться с виртуальным макетом на рабочем месте. Для этого запустить программу 1.1 Исследование спектров периодических сигна-

лов, используя иконку Лабораторные работы на рабочем столе, а затем папки ТЭС и Модуль 1. Изучить схему макета на дисплее компьютера, пользуясь разд. 6. Уточнить с преподавателем план выполнения лабораторной задачи.

5.2Провести исследование спектра нефильтрованной периодической последовательности П-импульсов. Установить значение амплитуды, периода

идлительности импульсов, использованные в домашнем заданиие. Занести в протокол временную и спектральную диаграммы исследуемого колебания. Сравнить полученный экспериментально спектр с рассчитанным в домашнем задании.

5.3Провести исследование спектра нефильтрованного периодическо-

го пилообразного колебания. Установить значения амплитуды и периода такие же, как и в предыдущем задании. Определить по формуле (3) теоретические значения амплитуд составляющих колебания, сравнить их с полученными экспериментально и со спектром последовательности П-импульсов.

5.4Провести исследование спектра нефильтрованной периодической последовательности треугольных импульсов. Установить значения амплиту-

ды и периода такие же, как и в предыдущем задании. Определить по формуле

(4) теоретические значения амплитуд составляющих колебания, сравнить их с полученными экспериментально и со спектром последовательности П- импульсов.

5.5Провести исследование влияния фильтрации на спектр и форму периодической последовательности П-импульсов. Установить значения ам-

8

плитуды, периода и длительности импульсов, использованные в задании 5.2. Исследование выполнить для двух значений частоты среза ФНЧ, а именно, 2/τ и 1/τ (τ – длительность импульса). Занести в протокол временные и спектральные диаграммы фильтрованных колебаний. Сделать выводы относительно изменения формы и спектра колебаний.

5.6 Провести исследование влияния фильтрации на спектр и форму пилообразного колебания и периодической последовательности треуголь-

ных импульсов. Установить значения амплитуды и периода, которые использованы в заданиях 5.3 и 5.4. Исследование выполнить при значении частоты среза ФНЧ 4/Т (Т – период колебаний). Занести в протокол временные и спектральные диаграммы фильтрованных колебаний. Сделать выводы относительно изменения формы и спектра колебаний.

6 Описание лабораторного макета

Лабораторная работа выполняется на компьютере с использованием виртуального макета, структурную схему которого приведено на рис. 4.

Всостав макета входят: генератор периодического сигнала, который может вырабатывать колебания трех типов:

- последовательность однополярных П-импульсов; - пилообразное двухполярное колебание;

- последовательность двухполярных треугольных импульсов.

Вгенераторе есть возможность устанавливать амплитуду и период для всех колебаний, а для последовательности П-импульсов еще и длительность импульсов.

Переключатель дает возможность наблюдать временные и спектральные диаграммы колебаний от генератора непосредственно или колебание после

фильтра нижних частот (ФНЧ). Частоту среза фильтра Fср можно устанавливать на панели макета. На рис. 5 приведенная амплитудно-частотная характеристика ФНЧ.

9

1

H(f)

0,5

0

Рисунок 5 – АЧХ ФНЧ

7 Требования к отчету

7.1Название лабораторной работы.

7.2Цель работы.

7.3Результаты выполнения домашнего задания.

7.4 Структурные схемы исследований и результаты выполнения п. 5.2...5.6 лабораторного задания (осциллограммы и спектрограммы, каждая должна иметь подпись).

7.5Выводы по каждому пункту задания, в которых предоставить анализ полученных результатов (совпадение теоретических и экспериментальных данных, зависимость формы фильтрованного сигнала от частоты среза ФНЧ и т.п.).

7.6Дата, подпись студента, виза преподавателя с оценкой по 100балльной шкале.

10

Лабораторная работа 1.2 ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

1 Цель работы

Изучение и экспериментальное определение свойств одномерных функций распределения вероятностей и плотностей вероятности случайных процессов.

2 Ключевые положения

2.1Считается, что изучаемые процессы являются стационарными и эргодическими. У таких процессов одномерные функция распределения вероятностей и плотность вероятности не зависят от времени и их можно определить по одной реализации.

2.2По определению значение одномерной функции распределения вероятностей F(x) равняется вероятности того, что в произвольный момент времени процесс Х(t) примет значение, не превышающее x:

Значение одномерной плотности вероятности процесса р(х) равняется пределу отношения вероятности того, что в произвольный момент времени процесс X(t) примет значение на интервале (x – x/2, x + x/2), к длине интервала x, когда x → 0:

Функции F(x) и р(x) используются для вычисления вероятностей попадания значений процесса в заданный интервал (строка 2 в табл. 1), а также для выполнения статистического усреднения при определении характеристик процесса или результата определенной операции над случайным процессом.