Методические указания к выполнению лабораторных ра (1)

21

определяется формулой (14). Огибающая КФ радиоимпульса совпадает с КФ сигнала, который является огибающей радиоимпульса. На рис. 4, б приведена КФ радиоимпульса, построенную по формуле (14) при f0 = 4/Tим.

Преобразование Фурье от выражения (14) дает квадрат амплитудного спектра сигнала (13)

3 Ключевые вопросы

3.1Дать определения КФ случайного процесса.

3.2Как определяется КФ эргодического процесса?

3.3Перечислить основные свойства КФ случайного процесса.

3.4Какие параметры случайного процесса можно определить по его КФ?

3.5Что утверждает теорема Хинчина-Винера?

3.6Перечислить способы определения интервала корреляции.

3.7Как связаны между собой ширина спектра и интервал корреляции случайного процесса?

3.8Какой вид имеет КФ П-импульса?

3.9Какой вид имеет КФ радиоимпульса с П-образной огибающей?

3.10Почему начальная фаза радиоимпульса не влияет на его КФ?

4 Домашнее задание

4.1 Изучить разделы “ Корреляционная функция детерминированного и случайного процессов” по конспекту лекций и литературе [1, с. 15…18, 59…63; 3, с. 133…145; 4, с. 49…60] и описание лабораторного макета в разд. 6.

4.2Построить структурные схемы коррелометров для исследования корреляционных функций случайных процессов и детерминированных сигналов.

4.3Рассчитать и построить графики КФ и спектров:

–П-импульса длительностью Тим = 1,5 мс;

–радиоимпульса с П-образной огибающей длительностью Тим = 2 мс и частотой колебания радиоимпульса f0 = 2000 Гц;

–амплитуды импульсов принять (N + 1) В, где N – номер Вашей брига-

ды.

4.4 Подготовиться к обсуждению по ключевым вопросам.

5 Лабораторная задача

5.1 Ознакомиться с виртуальным макетом на рабочем месте. Для этого запустить программу 1.3 Корреляционные характеристики случайных процессов и детерминированных сигналов, используя иконку Лаборатор-

ные работы на рабочем столе, а затем папки ТЭС и Модуль 1. Изучить схему макета на дисплее компьютера, пользуясь разд. 6. Уточнить с преподавателем план выполнения лабораторного задания.

22

5.2Исследовать корреляционные и спектральные характеристики

реализаций шума. Установить Fmax = 1000 Гц. После выполнения программы проанализировать экспериментальные данные, а именно, проверить выполнение свойств корреляционной функции, определить по спектру его максимальную частоту, определить по корреляционной функцией интервал корреляции, найти их произведение, сравнить его с теоретическим значением (8); дать визу-

альную оценку среднего значения спектральной плотности мощности N0 на интервале (0, Fmax), умножить ее на Fmax и сравнить произведение со значением измеренной средней мощности реализации – соотношение (7).

Повторить исследование для Fmax = 2000 Гц и Fmax = 3000 Гц.

5.3Исследовать корреляционные и спектральные характеристики П-

импульса. Установить А = 2 В, Тим = 0,5 мс. После выполнения программы за-

рисовать графики Ks(τ) и S2(f). Провести анализ экспериментальных данных, а именно, сравнить экспериментальную зависимость S2(f) с теоретической (12); экспериментальную зависимость Ks(τ) с теоретической (11); измеренное значение энергии импульса со значением Ks(0).

Повторить исследование для А = 5 В, Тим = 1 мс и Тим = 1,5 мс.

5.4 Исследовать корреляционные и спектральные характеристики радиоимпульса. Установить А = 2 В, f0 = 1000 Гц. После выполнения программы зарисовать графики Ks(τ) и S2(f). Провести анализ экспериментальных данных, а именно, сравнить экспериментальную зависимость S2(f) с теоретической (15); экспериментальную зависимость Ks(τ) с теоретической (14); измеренное значение энергии импульса со значением Ks(0). Записать значение начальной фазы радиоимпульса. Запустить программу на выполнение и убедить, что корреляционная функция не зависит от начальной фазы радиоимпульса.

Повторить исследование для А = 5 В, f0 = 2000 Гц и f0 = 3000 Гц.

6 Описание лабораторного макета

Лабораторная работа выполняется на компьютере в среде HP VEE с использованием виртуального макета, структурную схему которого приведено на рис. 5. Макет содержит следующие генераторы:

-генератор шума, который формирует реализацию квазибелого шума в

интервале частот (0, Fmax) длительностью 20 мс в виде 5000 отсчетов; макет дает возможность установить значения Fmax 1000, 2000 и 3000 Гц;

-генератор одиночного П-импульса, которому можно установить длительность импульса 0,5, 1 и 1,5 мс и произвольную амплитуду;

- генератор радиоимпульса с П-образной огибающей длительностью 2 мс позволяет установить произвольную амплитуду импульса и частоту колебания f0 1000, 2000 и 3000 Гц; фаза колебания является случайной величиной, ее значение выводится на индикатор ϕ.

Переключатель S позволяет выбрать исследуемый процесс.

Если для исследования выбран шум, то на дисплеях отображаются:

-реализация шума;

-значение измеренной средней мощности реализации;

23

-корреляционная функция реализации, рассчитанная по алгоритму, приведеному на рис. 2;

-спектральная плотность мощности реализации шума, полученная как преобразование Фурье от корреляционной функции реализации; программа формирует отсчеты квазибелого шума, однако из-за малого количества отсче-

тов (5000 отсчетов) спектр далеко не белый в полосе частот (0, Fmax).

Если для исследования выбрано П-импульс или радиоимпульс, то на дисплеях отображаются:

-осциллограмма импульса;

-значение измеренной энергии импульса;

-корреляционная функция импульса, рассчитанная по формуле (7);

-квадрат амплитудного спектра импульса, полученного как преобразование Фурье от корреляционной функции импульса.

Во всех случаях для вычисления КФ используется встроенная функция

Xcorrelate.

Рисунок 5 – Структурная схема макета

7 Требования к отчету

7.1Название лабораторной работы.

7.2Цель работы.

7.3Результаты выполнения домашнего задания.

7.5Выводы по каждому пункту задания, в которых предоставить анализ полученных результатов (проверка выполнения свойств корреляционных функций, совпадение экспериментальных и теоретических данных).

7.6Дата, подпись студента, виза преподавателя с оценкой по 100балльной системе оценивания.

24

Лабораторная работа 1.4 ИССЛЕДОВАНИЕ СИГНАЛОВ АНАЛОГОВОЙ МОДУЛЯЦИИ

1 Цель работы

1.1Исследование временных и спектральных характеристик сигналов аналоговых видов модуляции.

1.2Исследование связи между характеристиками модулированных и модулирующих сигналов.

2 Ключевые положения

2.1 Модуляция является аналоговой, если модулирующий сигнал аналоговый. Принцип аналоговой модуляции: имеется вспомогательное гармоническое колебание – переносчик uпер(t) = A0 cos(2πf0t + ϕ 0); при модуляции один из параметров переносчика получает приращения, пропорциональные значениям модулирующего сигнала b(t). У такого переносчика пр модуляции могут получать приращения: амплитуда, частота или начальная фаза. Название параметра, который получает приращения, определяет название модуляции: амплитудная (АМ), фазовая (ФМ) и частотная (ЧМ).

В случае аналоговых видов модуляции модулирующий сигнал – это первичный непрерывный сигнал электросвязи b(t) с такими характеристиками:

-максимальная частота спектра сигнала Fmax;

-сигнал нормирован так, что максимальное по модулю значение

b(t) max = 1;

- среднее значение сигнала b(t) = 0.

2.2 В случае АМ приращение амплитуды переносчика пропорционально мгновенным значением модулирующего сигнала, т.е. амплитуда модулированного сигнала A(t) = A0 + Ab(t) , где A – коэффициент пропорциональности, который выбирают так, чтобы амплитуда A(t) не принимала отрицательных значений. Поскольку b(t) max = 1, то A определяет наибольшее по модулю приращение амплитуды переносчика, а, чтобы амплитуда A(t) не принимала отрицательных значений, необходимо обеспечить A ≤ A0. Частота и начальная фаза переносчика остаются неизменными. Удобно перейти к относительному максимальному приращению амплитуды – коэффициенту амплитудной модуляции

mАМ = A/A0. Ясно, что 0 < mАМ ≤ 1.

Аналитическое выражение сигнала АМ при произвольном модулирующем сигнале имеет вид

Видим, что параметрами сигнала АМ являются mАМ, A0, f0 и ϕ0. Временную диаграмму сигнала АМ приведено на рис. 1. Обращает на себя внимание то, что огибающая модулированного сигнала повторяет форму модулирующего сигнала – амплитуда сигнала АМ A(t) является огибающей высокочастотного колебания cos(2πf0t + ϕ0) (на рис. 1 огибающая изображена штриховой линией).

25

2.3 На рис. 2 показано произвольный амплитудный спектр модулирующего сигнала и соответствующий ему амплитудный спектр сигнала АМ, который состоит из гармонического колебания частоты переносчика, верхней боковой полосы частот (ВБП) и нижней боковой полосы частот (НБП). При этом ВБП является масштабной копией спектра модулирующего сигнала, которая сдвинута по частоте на величину f0. НБП является зеркальным отображением ВБП относительно частоты переносчика f0.

Из рис. 2 вытекает важный результат: ширина спектра сигнала АМ FАМ равняется удвоенному значению максимальной частоты спектра модулирующего сигнала, т.е. FАМ = 2Fmax.

b(t)

Sb(f)

t

2.4 Расчеты показывают, что, когда модулирующими сигналами являются первичные сигналы электросвязи, то часть мощности боковых полос составляет лишь несколько процентов от мощности модулированного сигнала. Поэтому целесообразно сформировать сигнал со спектром, который состоит лишь из двух боковых полос частот (колебание частоты переносчика отсутствует), – таким сигналом является сигнал балансной модуляции.

Балансной называется такой вид модуляции, когда модулированным сигналом является произведение модулирующего сигнала и переносчика. Аналитическое выражение сигнала БМ имеет вид

Временные диаграммы модулирующего и модулированного сигналов приведены на рис. 3. Поскольку модулирующий сигнал действует на амплитуду переносчика, то БМ считается разновидностью АМ. Из рис. 3 видно, что огибающая сигнала БМ A(t) = A0½b(t)½ (показана пунктирной линией) не повторяет модулирующий сигнал.

Из сравнения математических выражений, описывающих сигнал АМ (1) и сигнал БМ (2), видим, что спектр сигнала БМ отличается от спектра сигнала АМ отсутствием колебания частоты переносчика. На рис. 4 показано произвольный амплитудный спектр модулирующего сигнала и соответствующий ему

26

амплитудный спектр сигнала БМ, состоящий из ВБП и НБП. Из рис. 4 вытекает, что ширина спектра сигнала БМ FБМ такая же, как и ширина спектра сиг-

нала АМ: FБМ = 2Fmax.

2.5 Однополосной называется такой вид модуляции, когда спектр модулированного сигнала совпадает со спектром модулирующего сигнала, сдвинутым на частоту переносчика, или является инверсией сдвинутого спектра относительно частоты переносчика. Спектр сигнала ОМ содержит одну боковую полосу – верхнюю или нижнюю. Сигнал ОМ записывается в виде

где знак “–” относится к описанию сигнала с верхней боковой полосой частот, а

27

На рис. 6 показано произвольный амплитудный спектр модулирующего сигнала и соответствующий ему амплитудный спектр ОМ сигнала с ВБП. Из рис. 6 вытекает, что ширина спектра ОМ сигнала DFОМ вдвое меньше ширины

спектра АМ и БМ сигналов: DFОМ = Fmax.

2.6 Модуляция называется частотной, если приращение частоты переносчика, вызванное модулирующим сигналом, пропорционально мгновенным значением модулирующего сигнала, т.е.

где Dfд – девиация частоты или максимальное приращение частоты в процессе модуляции.

В это же время имеет место приращение фазы

Математическое описание сигнала ЧМ:

− ∞

2.7 Модуляция называется фазовой, если приращение фазы, вызванное модулирующим сигналом, пропорционально мгновенным значением модулирующего сигнала, т.е.

где Δϕд – девиация фазы или максимальное приращение фазы в процессе модуляции.

Приращение частоты, которое имеет место в случае фазовой модуляции, определяется выражением

2.8 Из приведенных описаний сигналов вытекает, что сигналы ЧМ и ФМ имеют много общего. Как при ЧМ, так и при ФМ имеют место приращения и частоты, и фазы. Название вида модуляции определяется тем, который из параметров получает приращения, пропорциональные модулирующему сигналу.

2.9 Если модулирующий сигнал – гармоническое колебание b(t) = cos 2πFt, то сигнал ЧМ записывается в виде

где mЧМ – индекс частотной модуляции, который определяется отношением девиации частоты к частоте модулирующего сигнала

28

В случае такого же модулирующего сигнала сигнал ФМ записывается как

где mФМ – индекс фазовой модуляции, который равняется девиации фазы

Из сравнения выражений (10) и (12) вытекает, что формы сигналов ЧМ и ФМ совпадают – они лишь взаимно сдвинуты на четверть периода колебания b(t). Как вывод – в случае модуляции гармоническим колебанием и равенства индексов модуляции амплитудные спектры сигналов ЧМ и ФМ одинаковые.

2.10 Для случая модуляции гармоническим колебанием рассмотрим амплитудные спектры сигналов ЧМ и ФМ. Для этого достаточно проанализировать один из видов модуляции, например, ЧМ. Преобразование выражения (10) дает спектральное представление сигнала ЧМ:

где Jk(mЧМ) – значение функции Бесселя первого рода k-го порядка от аргумента mЧМ. Графики функций Бесселя приведены на рис. 7.

29

Из выражения (14) вытекает, что в спектре сигнала ЧМ есть составляющая на частоте переносчика f0 (первое слагаемое), ее амплитуда A0J0(mЧМ) зависит от индекса модуляции mЧМ.

Первая сумма в выражении (14) определяет нижнюю боковую полосу с частотами

fk = f0 – k, k = 1, 2, 3, ... .

Аналогично, вторая сумма определяет верхнюю боковую полосу с часто-

тами

fk = f0 + k, k = 1, 2, 3, ... .

Амплитуды составляющих спектра, размещенных симметрично относительно f0, для определенного k, определяются как А0 Jk(mЧМ).

2.11 Из выражения (14) вытекает, что протяженность амплитудного спектра бесконечная. Однако основная часть мощности сигнала сосредоточена в некотором ограниченном частотном интервале вокруг f0, который и считают шириной спектра сигнала. Если ограничиться учетом составляющих, амплитуды которых не меньше 0,05А0, то ширина спектра ЧМ сигнала рассчитывается по формуле:

2.12Изложенное в п. 2.10 и 2.11 справедливо как для ЧМ, так и для ФМ. Отличие между спектрами ЧМ и ФМ сигналов можно выявить, если зафиксировать параметры модулированных сигналов и изменить частоту модулирую-

щего сигнала. В случае ФМ индекс модуляции mФМ остается неизменным и ширина спектра ФМ сигнала по формуле (15) изменяется. В случае же ЧМ индекс

модуляции mЧМ изменяется согласно формуле (11) и ширина спектра ЧМ сигнала по формуле (15) практически остается неизменной.

2.13В случае сложных модулирующих сигналов с максимальной часто-

той спектра Fmax ширина спектра модулированного сигнала рассчитывается по формулам

где индексы модуляции mЧМ и mФМ определяются соответственно формулами

(11)и (13).

2.14Математические модели сигналов АМ, БМ, ОМ, ЧМ и ФМ в виде соотношений (1), (2), (3), (10) и (12) используются для построения схем формирования и детектирования этих сигналов.

3 Ключевые вопросы

3.1С какой целью используется модуляция в системах электросвязи?

3.2Дать определения амплитудной, балансной, однополосной, частотной

ифазовой модуляций.

3.3Что такое коэффициент амплитудной модуляции? Какие значения он может принимать?

3.4Что такое преобразование Гильберта?

30

3.5Нарисовать временные диаграммы сигналов, когда модулирующим сигналом является гармоническое колебание.

3.6Изобразить спектры сигналов АМ, БМ и ОМ, когда модулирующим сигналом является гармоническое колебание.

3.7Изобразить спектры АМ, БМ и ОМ сигналов, когда задан произвольный спектр модулирующего сигнала.

3.8Объяснить, чему огибающая ОМ сигнала на рис. 5 имеет именно та-

кой вид?

3.9Пересчитать основные параметры сигналов ЧМ и ФМ, дать их опре-

деление.

3.10Что такое индекс частотной модуляции? Какие значения он может принимать?

3.11В чем заключается отличие ЧМ от ФМ?

3.12Как рассчитать спектры ЧМ и ФМ сигналов?

3.13В спектре сигнала ЧМ (или ФМ), когда модулирующим сигналом является гармоническое колебание, при некоторых значениях индекса модуляции

составляющие с частотами f0 ± F отсутствуют. Чем это объясняется? Каким индексам модуляции это соответствует?

3.14 Частота модулирующего сигнала уменьшилась вдвое. Как при этом изменятся спектры ЧМ и ФМ сигналов?

4 Домашнее задание

b(t) = A1sin(2πF1t) + A2sin(2πF2t) + A3sin(2πF3t). Изобразить спектры первичного сигнала и спектры сигналов АМ, БМ и ОМ (положить mАМ = 1). Исходные данные к задаче согласно номеру Вашей бригады приведены в табл. 1.

Таблица 1 – Исходные данные к домашнему заданию

4.3 Рассчитать амплитудный спектр сигнала ЧМ по таким данным: амплитуда переносчика A0 = 1 В, частота переносчика f0 = 2500 Гц; девиация частоты fд = 400 + 100N Гц, где N – номер бригады; модулирующим сигналом является гармоническое колебание частоты F = 200 Гц. Результаты расчетов