Круглый металлический волновод

Круглый металлический волновод это труба круглого сечения радиуса а из идеально проводящего металла бесконечно протяженная вдоль оси z.

Среда внутри – вакуум.

Качественно картину поля в круглом волноводе можно было бы получить деформируя прямоугольный волновод, причем волной низшего типа круглого волновода будет волна Н11. Для получения математического решения используем цилиндрическую систему координат (в дальнейшем ЦСК). Чтобы использовать ранее полученные результаты сделаем следующие преобразования:

Введем вектор

(3.13)

Эти выражения позволяют определять поперечные составляющие через продольные в любой системе координат. При исследовании волн Н-типа следует исходить из уравнений Гельмгольца:

Воспользуемся выражением оператора Лапласа в ЦСК:

.

Электрический вектор имеет касательную составляющую, которая должна обращаться в ноль на металле (составляющаяотлична от нуля).

Тогда граничное условие принимает вид:

при r = a.

Используем метод разделения переменных:

.

После подстановки этого решения в уравнение Гельмгольца и деления его на произведение R и Ф получаем:

(3.14)

Чтобы уравнение удовлетворялось при всех значениях r и обе части равенства должны быть равны некоторому постоянному числу. Например:

.

Решение этого дифференциального уравнения второго порядка:

.

Где С – произвольный постоянный коэффициент.

Т.к. волновод симметричен, то вместо функции cos можно использовать sin. Чтобы картина была периодична по углу φ с периодом 2π - m=0, 1, 2, … m – один из индексов волны Н – типа. Левая часть уравнения (3.14):

,

в математике это уравнение хорошо изучено – Уравнение Бесселя. Его общее решение:

Частные линейно независимые решения уравнения Бесселя.

I_m - функция Бесселя или цилиндрическая функция первого рода порядка m.

N_m+1 - функция Неймана или цилиндрическая функция второго рода порядка m. Роль этих функций в ЦСК такая же, как sin и cos в декартовой системе координат, но их вид значительно отличается от вида sin и cos.

N_m+1 - функция Неймана или цилиндрическая функция второго рода порядка m. Роль этих функций в ЦСК такая же, как sin и cos в декартовой системе координат, но их вид значительно отличается от вида sin и cos.

1. Цилиндрические функции – непериодические

2. Их амплитуда уменьшается с ростом аргумента

3. При малых значениях аргумента(х→0) функции N_m неограниченно велики (N_m→-∞).

Для цилиндрических функций справедливы рекуррентные соотношения:

.

Т.к. поле должно быть конечно в любой точке поперечного сечения волновода, то из физических соображений следует предположить В = 0. Обозначая произведение С и А через Н₀ запишем амплитуду продольной проекции вектора Н:

(3.15)

Найдем из граничных условий поперечное волновое число g:

будет равно 0 при r = a, если приr = a.

Количество корней этого уравнения неограниченно, корни обозначают μ_mn, тогда:

(3.16)

и

(3.17)

Номер корня n – второй индекс волны.

Физический смысл индексов:

m – число вариаций поля по угловой координате,

n – характеризует изменение поля по координате r.

Каждой паре mn соответствует оригинальная картина поля в волноводе причем n≠0 (иначе Н_z=0 или ∞). Критическая длина:

(3.18)

Наименьшему корню производной функции Бесселя соответствует низший тип волны. Из графиков для I_m следует, что низшим будет тип Н₁₁(μ₁₁=1,841). Структура совпадает с той, которую получили деформацией прямоугольного волновода .

определяются выражениями (3.5), (3.6), (3.7), (3.9), (3.10).

Правила, которые мы использовали при построении картин поля высших типов волн в прямоугольном волноводе, для круглого волновода не применимы.

Вывод выражений для волн Е типа аналогичен, но т.к. граничные условия для них Е_z=0 при

r = a, то , где υ_mn - корень уравнения I_m(gr) = 0.

Низшей среди волн Е типа будет волна Е₀₁ для нее υ₀₁ = 2,405; .

Таблицы для μ_mn & υ_mn приведены в справочниках.

Выражение для продольной составляющей поля:

.

Индексm = 0 означает, что картина по φ - симметрична.

определяется по (3.10).

Построим диаграмму типов волн в круглом волноводе.

Диаграмма волн в круглом волноводе

Волновод работает в одномодовом режиме (Н₁₁) при 2,61а ≤ λ₀≤ 3,41а, т.е. коэффициент широкополосности (перекрытия) - 1,3, а реально еще меньше.

Хотя технологически и конструктивно круглый волновод предпочтительней прямоугольного, он используется в основном в виде коротких отрезков. Причина - явление поляризационной неустойчивости. Зато наличие симметричных типов (m=0) практически весьма ценно для создания вращающихся сочленений.

В круглом волноводе обычно используют волны типов Е₀₁,Н₀₁.

Картина для Н₀₁:

Еще одна интересная конструктивная особенность круглого волновода - возможность передачи мощности почти вдвое превосходящую аналогичную для прямоугольного.

Для в волны Н₁₁ (для любой, когда m≥0) величина предельно допустимой мощности не намного превосходит допустимую мощность для прямоугольного (отсутствие граней), а поляризация – линейная:

.

Если возбудить две волны Н₁₁, ортогональные друг другу и сдвинутые по фазе на 90 градусов, то получим волну с круговой поляризацией с допустимой напряженностью поля в каждой точке, но с удвоенной мощностью.

Интересные свойства наблюдаются у волны Н₀ типа в круглом волноводе. Т.к. поверхностный ток для нее имеет только азимутальную составляющую, то с ростом частоты потери стремятся к нулю.