Основные свойства определённого интеграла.

1. Интеграл от сумы равен сумме интегралов

;

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

, где ;

3. Если отрезок разбит точкой на два отрезка, то интеграл на отрезке равен сумме интегралов на отрезках и

,

4.

, где .

5. При перемене местами пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный

.

Формула Ньютона—Лейбница.

Если F(x) - произ­вольная первообразная функции f(x), то справедлива фор­мула Ньютона-Лейбница

Таким образом, формула Ньютона-Лейбница сводит вы­числение определённого интеграла к вычислению разности значений любой её первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования. Эта формула считается основной формулой интегрального исчисления.

Разность для удобства обозначают . Поэтому формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде:

Пример 1. Вычислить

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница

.

Замена переменной в определённом интеграле.

За­мена переменной осуществляется точно так же, как и в неопределённом интеграле с двумя различиями:

1) при замене следует пересчитывать пределы интегриро­вания;

2) не нужно возвращаться к старой переменной.

Пример 2. Вычислить

Решение. Положим . Тогда

,

.

Поэтому

Формула интегрирования по частям.

Формула инте­грирования по частям для определённого интеграла прини­мает вид:

.

Пример 3. Вычислить

Решение. Положим

.

Тогда

.

Поэтому

Несобственные интегралы

Несобственным интегралом от функции , определенной на промежутке и интегрируемой по любому отрезку называется предел интеграла при .

.

Если существует конечный предел , то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует или он бесконечный, то интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяется интеграл , а именно

.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется следующим образом:

,

где - любое действительное число.

Пример 1. Найти несобственные интегралы или установить их расходимость:

1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) .

Интеграл сходится и равен 1.

2) .

Интеграл расходится.

3)

Интеграл сходится и равен .

Вопросы для самоконтроля

1. Интегральная сумма и ее свойства.

2. Понятие определенного интеграла.

3. Геометрический смысл определенного интеграла.

4. Доказать, что постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

5. Доказать, что .

6. Теорема о среднем для определенного интеграла.

7. Формула Ньютона-Лейбница.

8. Замена переменной в определенном интеграле.

9. Интегрирование по частям определенного интеграла.

10. Вычисление интегралов вида .

11. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

12. Интегралы от разрывных функций.

Тема 10 «Приложения определенного интеграла» Вычисление площадей плоских фигур

Пусть криволинейная трапеция (рис. 2) ограничена: а) кривой , осью и прямыми ; б) кривой , осью и прямыми ; в), г) кривыми , , осью и прямыми . Тогда площадь данной фигуры можно вычислить следующим образом:

Рис. 2. Вычисление площадей фигур

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и , прямыми и .

Решение.

1. Построим графики заданных функций (рис. 3). Требуется найти площадь заштрихованной фигуры.

2) Решим уравнение .

Получим корни уравнения, принадлежащие промежутку (рис. 4):

3) Решим уравнение . Получим корни уравнения, принадлежащие промежутку (рис. 5):

4) Разобьем искомую фигуру на части (рис. 6).

5) Найдем площади полученных элементарных частей:

Ответ: площадь фигуры, ограниченной графиками функций и , прямыми и равна