Интегрирование иррациональных функций

1. выделяем полный квадрат и делаем замену (см § 10) интеграл I₁ искомый интеграл сводится к виду

(ф-ла 20) и (ф-ла 17)

Пример 1) выделим полный квадрат

2. выделяем полный квадрат:

II делаем так, чтобы в числителе была производная знаменателя и разбиваем на два интеграла

3. 

Выделим полный квадрат

Итак

ф-ла ф-ла 20

2а 20

-

III. Интегралы вида , где R рациональная функция своих аргументов.

Пусть k наименьший общий знаменатель дробей

подстановка

Тогда каждая дробная степень х выражается через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную степень t

4. наименьшим общим знаменателем дробей является число 6, поэтому замена

IV. Интегралы вида

Пусть k – наименьший общий знаменатель дробей , тогда

5. 

5. Интегралы вида заменой сводится к виду

6. 

Интегралы от дифференциальных биномов

, где m, n, p, - рациональные числа

П.А. Чебышев доказал, что этот интеграл выражается через конечную комбинацию элементарных функций в следующих трех случаях

1) р – целое где k – наименьший общий знаменатель дробей m и n

2) - целое или равно 0 подстановка где S – знаменатель дроби р

3) - целое или 0 подстановка

S знаменатель р

7. 

(случай 2)

Подстановка

Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок

8. 

Вернемся к старой переменной. Нам надо выразить ctgt через sint. Воспользуемся формулой:

отсюда

Итак

9. выделяем в числители полный квадрат

Перейдем к старой переменной

Итак

Вопросы для самоконтроля

1. Первообразная функция. Основные теоремы о первообразных.

2. Понятие неопределенного интеграла.

3. Теорема о производной от неопределенного интеграла.

4. Теорема о дифференциале от неопределенного интеграла.

5. Теорема о неопределенном интеграле от дифференциала.

6. Доказать, что постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

7. Теорема о неопределенном интеграле от алгебраической суммы конечного числа функций.

8. Метод замены переменной (внесение под знак дифференциала).

9. Интегрирование по частям неопределенного интеграла.

10. Интеграл вида .

11. Схема разложения алгебраических дробей на элементарные.

12. Интегралы вида ;;.

13. Интегралы вида (m>0, n>0, хотя бы одно из них нечетное).

14. Интегралы виды ;(m – нечетное).

15. Интегралы вида (m>0, n>0, оба четные).

16. Интегралы вида (m>0, n<0, оба четные); (m и n нечетные, одно из них отрицательное); (m и n отрицательные, их сумма четное число).

17. Интегралы вида .

18. Интегрирование иррациональных выражений с помощью тригонометрических подстановок.

Тема 9 «Определенный интеграл» Понятие определённого интеграла.

Пусть на отрезке задана функция . Рассмотрим фигуру (см. рис. 1), ограниченную графиком функции , прямы­ми , и осью . Её называют криволинейной трапецией. Поставим задачу об определении и вычислении площади этой криволинейной трапеции.

Отрезок разобьём на n произвольных частей точ­ками:

.

Через точки проведём прямые, параллельные оси . Криволинейная трапеция разобьется на n частичных криво­линейных трапеций. Теперь на каждом из отрезков , , …, произвольно выберем по точке ,

Рис. 1. Нахождение площади криволинейной трапеции

Вычислим значение . И каждую частичную криволи­нейную трапецию заменим прямоугольниками с высотами , , ..., . Тогда можно полагать, что для пло­щади криволинейной трапеции справедливо соотношение

.

Естественно предположить, что это равенство будет тем точнее, чем меньше максимум длин отрезков разбиения

Поэтому площадь криволинейной трапеции равна

(1)

Число S, равное пределу (1), называют определенным ин­тегралом от функции по отрезку и обозначают

Таким образом, задача о вычислении площади криволиней­ной трапеции приводит к введению понятия определённого интеграла.